Μεγάλες κατασκευές 73

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 73.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα

, κατά

τμήμα BD=BA

και η διχοτόμος της $\widehat{C}$ , τμήσει την

στο

, να προκύψει : $SB \perp CD$ .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι

... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .

#2

Έστω το

σταθερό . Γράφω το σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου

και πάνω σ αυτό θα αναζητήσω το

, έστω δε ότι το βρήκα.

Ας είναι

η προβολή του

στη διάμετρο

. Θέτω $BA = BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = k\,\,\,,\,\,0 < k < a$ .
.

: Μεγάλες κατασκευές 73_κατασκευή.png (21.59 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

.
Επειδή από το Θ. διχοτόμων και Θ. Ευκλείδη : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{SD}}{{SA}} = \frac{{BD}}{{BT}} \hfill \\ A{B^2} = BT \cdot BC \hfill \\ \end{gathered} \right.$ έχω: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{a + x}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = \frac{x}{k} \hfill \\ {x^2} = ka \hfill \\ \end{gathered} \right.$ απ όπου :

${x^3} + a{x^2} + {a^2}x - {a^3} = 0$ που έχει μια πραγματική ρίζα : $\boxed{x = \frac{a}{3}\left[ {\sqrt[3]{{17 + 3\sqrt {33} }} - \sqrt[3]{{ - 17 + 3\sqrt {33} }} - 1} \right]}$ .

Ο κύκλος $\left( {B,x} \right)$ τέμνει το ημικύκλιο στο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm
Μεγάλες κατασκευές 73.png Κατασκευάστε; ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα , κατά

τμήμα και η διχοτόμος της $\widehat{C}$ , τμήσει την στο , να προκύψει : $SB \perp CD$ .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .

KARKAR · #4

Στάθη , για τον συγκεκριμένο φάκελο , το "κατασκευάστε" δεν έχει την συνήθη σημασία

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 am
Στάθη , για τον συγκεκριμένο φάκελο , το "κατασκευάστε" δεν έχει την συνήθη σημασία

Καλημέρα σε όλους .Θανάση αναγνωρίζω την προσφορά σου εδω στο φόρουμ και το εχω πει πολλές φορές αλλα πρόσεξε αυτα τα θέματα κατασκευών με λογισμικό δεν είναι Γεωμετρία αλλα Τσελεμεντές όπως ελεγε κάποιος φίλος Μαθηματικός. Φυσικά αν δεν μας αρέσει κάτι το προσπερνάμε Καλή συνέχεια σε όλους

KARKAR · #6

STOPJOHN έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 9:28 am
... αυτά τα θέματα κατασκευών με λογισμικό δεν είναι Γεωμετρία ...

Συμφωνώ απολύτως , γι' αυτό και συνήθως τα τοποθετώ σ' αυτόν τον φάκελο .

Πάντως όταν ένα πρόβλημα έχει λύση , η οποία δεν είναι κατασκευάσιμη με κανόνα

και διαβήτη , δεν παύει να έχει την αξία του . Η όμορφη λύση του Νίκου παραπάνω

το επιβεβαιώνει ...

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 am
Στάθη , για τον συγκεκριμένο φάκελο , το "κατασκευάστε" δεν έχει την συνήθη σημασία

Καλημέρα Θανάση

Οφείλω να ομολογήσω οτι δεν διασκέδασα καθόλου με το " πρόβλημα " λόγω του τίτλου του.

Στην όμορφη κοπελιά που φέρει το όνομα Γεωμετρία νομίζω οτι οφείλουμε να είμαστε πιο προσεκτικοί

Έκανα μια προσπάθεια τελευταία να της δώσω τη θέση που της αξίζει κατα την ταπεινή μου άποψη θέτοντας μια σειρά " κλεμμένων " συνθετικών θεμάτων και πράγματι απόλαυσα λύσεις απο ενα ΓΙΓΑΝΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΗ όλων των εποχών ( φυσικά και μιλάω για τον Κώστα το Βήττα ).

Γιατι σε καθε συνθετική λύση δεν απολαμβάνω το σχήμα αλλά τη διαδρομή του μυαλού του ΜΑΣΤΟΡΑ που " ξεκλειδώνει " τον " κρυμμένο θυσαυρό ".

Η γεωμετρία εχει υποστεί τεράστιο βιασμό στα σχολεία ( περικοπή ύλης , θεωρήματα χωρις την αποδειξη κλπ) απο τους " αρμόδιους "

Προφανώς και το σύστημα δεν θέλει τα παιδιά μας να σκέφτονται και να προβληματίζονται

Ειναι πιο εύκολα " διαχειρίσιμος " ένας μη σκεφτόμενος

Έτσι λοιπόν προσπαθούν να υποβαθμίσουν και το μεγαλύτερο λογικό κατασκεύασμα όλων των εποχών που ειναι η Ευκλείδια γεωμετρία

Ας μην την αποτελειώσουμε και εμείς με λογαριασμούς και λογισμικά

Ας της συμπεριφερθούμε όπως της αρμόζει με συνθετικά προβλήματα ακονίζοντας το μυαλό μας , δείχνοντας αυτό το δρόμο στους νεώτερους και ίσως το κέρδος για μας ειναι η αποφυγή του Αλτσχάιμερ μαζί με την ηδονή της λύσης

Και πάλι καλημέρα και καλή μας χρονιά με υγεία και υγεία και προπάντων με υγεία

Γιατι δυο πράγματα αξίζουν στη ζωή κατα τη γνώμη μου ( η υγεία και το σεξ

)

KARKAR · #8

Στάθη σε παραπέμπω στο πρώτο θέμα της σειράς : "Μεγάλες κατασκευές " , εδώ .

Η σκέψη ήταν να προσεγγίσουμε προβλήματα που δεν λύνονται με κανόνα και διαβήτη , τα οποία όμως

μπορούν να λυθούν διαφορετικά . Οι λύσεις αυτές παρότι δεν έχουν την κλασική ομορφιά , παρουσιάζουν

ενδιαφέρον ( κυρίως όταν τα μαθηματικά καλούνται να λύσουν πρακτικά προβλήματα ) .

Ο τίτλος λοιπόν είχε τότε ειρωνική απόχρωση . Βέβαια στην πορεία ενέταξα σ' αυτήν την σειρά και

ασκήσεις αληθινών κατασκευών . Ας θεωρηθεί λοιπόν ως μια προσπάθεια να βρεθεί ο λύτης στην θέση

να αποφανθεί αν το τεθέν πρόβλημα λύνεται ή όχι με κανόνα και διαβήτη .

Η τοποθέτηση του θέματος , στον φάκελο : "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" , υπονοεί πως όχι ...

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm
Μεγάλες κατασκευές 73.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα , κατά

τμήμα και η διχοτόμος της $\widehat{C}$ , τμήσει την στο , να προκύψει : $SB \perp CD$ .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .

: Μεγάλες κατασκευές 73.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Βρίσκω $\displaystyle a = b\left( {\sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {33} }}{{36}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {33} }}{{36}}}}} \right).$ Η λύση το απογευματάκι. Δώρο το ισοσκελές BES

Φανης Θεοφανιδης · #10

Στάθη είναι και το φαγητό.
Διότι εάν κάνεις μόνο sex και δεν τρως, τότε τι υγεία θα έχεις ;

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 13, 2022 8:48 pm
Μεγάλες κατασκευές 73.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν προεκτείνουμε την υποτείνουσα , κατά

τμήμα και η διχοτόμος της $\widehat{C}$ , τμήσει την στο , να προκύψει : $SB \perp CD$ .

Αν έχω λύση ; Φυσικά όχι ... Επιτρέπεται λοιπόν λύση με χρήση λογισμικού .

Φέρνω $ST\bot CA$ και έστω

το σημείο τομής των AS, BA.

Θέτω

: Μεγάλες κατασκευές 73.β.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Λόγω της διχοτόμου είναι, $\displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{b}{a} = \frac{{CA}}{{CT}} = \frac{{AE}}{{ST}} \Leftrightarrow SB = ST = BE = \frac{{ac}}{{a + b}}$

$\displaystyle AB = BD = c \Rightarrow {c^2} = B{S^2} + xy \Leftrightarrow xy = {c^2}\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{{c^2} = {a^2} - {b^2}}$ $\boxed{xy = \frac{{b(a - b)(2a + b)}}{{(a + b)}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{b}{{a + c}} \Leftrightarrow xy = \frac{b}{{a + c}}{y^2} = \frac{b}{{a + c}}({c^2} + B{S^2}) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{xy = \frac{{b(a - b)(2{a^2} + 2ab + {b^2})}}{{(a + c)(a + b)}}}$ (2)

Από

και

$\displaystyle c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \frac{{ab + {b^2}}}{{2a + b}} \Leftrightarrow 2{a^3} - 2{b^2}a - b^3 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\frac{a}{b} = t}$ $\boxed{{t^3} - t = \frac{1}{2}}$ που λύνεται χωρίς

λογισμικό με το τύπο των $\displaystyle {\rm{Cardano}} - {\rm{Tartaglia}}$ και δίνει $\displaystyle t = \sqrt[3]{{\frac{1}{4} - \sqrt {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{\frac{1}{4} + \sqrt {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{27}}} }}$

Με λίγο συμμάζεμα τώρα, $\boxed{a = b\left( {\sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {33} }}{{36}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {33} }}{{36}}}}} \right)}$

Φυσικά δεν μιλάμε για Γεωμετρική κατασκευή. Πλην όμως έχουμε ακριβή λύση. Με ή χωρίς λογισμικό δεν έχει σημασία. Το

λογισμικό δεν είναι εχθρός μας. Αντίθετα, σε πολλές περιπτώσεις μας διευκολύνει. Γι' αυτό, μην πυροβολείτε τον πιανίστα

Μεγάλες κατασκευές 73

Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Re: Μεγάλες κατασκευές 73

Μέλη σε σύνδεση