Μικροσκοπικές ρίζες
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Μικροσκοπικές ρίζες
Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,
του πολυωνύμου : , ισχύει : .
του πολυωνύμου : , ισχύει : .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Aς δούμε για την ώρα έναν τρόπο. Αργότερα, αν χρειαστεί, άλλους δύο.
Για κάθε έχουμε
. Δηλαδή το δεν είναι ρίζα. Και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Toν σκέφτηκα μετά (ως τέταρτο τρόπο), οπότε το γράφω.
Eίναι , που είναι θετικό εκτός των ριζών . Άρα για η είναι γνήσια αύξουσα, οπότε εκεί
. Άρα δεν μηδενίζεται εκεί. Όμοια για όπου τότε .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Αν τότε προφανώς το πολυώνυμο είναι θετικό, ενώ αν το πολυώνυμο είναι αρνητικό. Άρα,
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Μπορούμε να βρούμε ακριβώς τις τρεις ρίζες, οπότε το παραπάνω είναι παρεπόμενο. Συγκεκριμένα, θα δούμε ότι οι αριθμοί και είναι οι τρείς ρίζες, και άρα αμέσως ικανοποιούν την .
Πράγματι αν ή ή , τότε το ισούται ή ή , αντίστοιχα, που σε όλες τις περιπτώσεις ισούται με . Με άλλα λόγια ισχύει, για τα αυτά, .
Γράφουμε την τελευταία στην μορφή ή αλλιώς . H τελευταία απλά λέει ότι το είναι ρίζα της δοθείσας εξίσωσης. Τελειώσαμε.
Αν από περιέργεια θέλουμε να δούμε τις αριθμητικές τιμές των ριζών, είναι και
-
- Δημοσιεύσεις: 46
- Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 11:15 pm
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Δεν ξέρω αν η παρακάτω απόδειξη ικανοποιεί τα κριτήρια βάσει των οποίων ο Θανάσης τοποθέτησε την άσκηση στο φάκελο «Διασκεδαστικά Μαθηματικά»:
Επειδή είναι , συμπεραίνουμε σύμφωνα με την ταυτότητα που γράφεται
ότι οι δυνατές τιμές του είναι ή ή άπασες μεταξύ και .
Από μία άποψη, αυτή η συνάντηση 'Αλγεβρας και Τριγωνομετρίας θα μπορούσε να χαρακτηριστεί έως και διασκεδαστική ...
Γιάννης Θωμαΐδης
Επειδή είναι , συμπεραίνουμε σύμφωνα με την ταυτότητα που γράφεται
ότι οι δυνατές τιμές του είναι ή ή άπασες μεταξύ και .
Από μία άποψη, αυτή η συνάντηση 'Αλγεβρας και Τριγωνομετρίας θα μπορούσε να χαρακτηριστεί έως και διασκεδαστική ...
Γιάννης Θωμαΐδης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Θέλουμε να δείξουμε ότι αν ή , τότε αποκλείεται να ισχύει .
Στην πρώτη περίπτωση είναι , όπου . Άρα και με περίσσευμα.
Στη δεύτερη περίπτωση είναι , όπου . Άρα και με περίσσευμα.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
άρα έχουμε τουλάχιστον μία ρίζα στο Υποψιασμένοι τώρα από την εκφώνηση, δοκιμάζουμε μία τιμή στο διάστημα π.χ με οπότε έχουμε από μία ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα και και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Re: Μικροσκοπικές ρίζες
Αυτή ακριβώς η σκέψη δημιούργησε την άσκηση ( τα ίδια γράφει και ο Μιχάλης παραπάνω ) .Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑Τρί Δεκ 14, 2021 5:35 pm
Επειδή είναι , συμπεραίνουμε σύμφωνα με την ταυτότητα , που γράφεται
, ότι οι δυνατές τιμές του είναι ή ή , άπασες μεταξύ και .
Από μία άποψη, αυτή η συνάντηση 'Αλγεβρας και Τριγωνομετρίας θα μπορούσε να χαρακτηριστεί έως και διασκεδαστική ...
Γιάννης Θωμαΐδης
Έχοντας "καβάτζα" και τον Bolzano ( βλέπε Βισβίκης ) , αναζήτησα άλλη μία , η οποία δεν έχει γραφεί ακόμη .
Πάντως βρέθηκαν κι άλλες ωραίες με κορυφαία κατά την αποψή μου αυτή του Μιχάλη με το
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες