Ανεξερεύνητος τόπος

KARKAR · #1

: Ανεξερεύνητος τόπος.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές

Η γωνία $\theta$ μεταβάλλεται . Βρείτε ( έστω και κατά προσέγγιση

) , τον γεωμετρικό τόπο του

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 16, 2021 1:42 pm
Ανεξερεύνητος τόπος.pngΗ γωνία $\theta$ μεταβάλλεται . Βρείτε ( έστω και κατά προσέγγιση ) , τον γεωμετρικό τόπο του .

Δεν καταλαβαίνω γιατί διασκεδαστικά Μαθηματικά.
Κανονικά Μαθηματικά είναι.(Εκτός αν είναι ναι για μένα που όλα τα θεωρώ είναι διασκεδαστικά).
Επίσης δεν καταλαβαίνω τι θα πει γεωμετρικός τόπος προσεγγιστικά.
Οσο για το ανεξερεύνητος η πιθανότητα να ρωτήσει κάποιος για ενα γεωμετρικό τόπο στην τύχη
και αυτός να μην έχει εξερευνηθεί είναι

.

Στην ουσία.
Αν δεχθούμε ότι $0< \theta < \frac{\pi }{2}$
ο γεωμετρικός τόπος είναι

2axy=3(x^2+y^2)y-4y^3,x,y>0

όπου

(Θεώρημα ημιτόνων και πολικές)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 16, 2021 1:42 pm
Η γωνία $\theta$ μεταβάλλεται . Βρείτε ( έστω και κατά προσέγγιση ) , τον γεωμετρικό τόπο του .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 16, 2021 2:59 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 16, 2021 1:42 pm
Ανεξερεύνητος τόπος.pngΗ γωνία $\theta$ μεταβάλλεται . Βρείτε ( έστω και κατά προσέγγιση ) , τον γεωμετρικό τόπο του .
Δεν καταλαβαίνω γιατί διασκεδαστικά Μαθηματικά.
Κανονικά Μαθηματικά είναι.(Εκτός αν είναι ναι για μένα που όλα τα θεωρώ είναι διασκεδαστικά).
Επίσης δεν καταλαβαίνω τι θα πει γεωμετρικός τόπος προσεγγιστικά.
Οσο για το ανεξερεύνητος η πιθανότητα να ρωτήσει κάποιος για ενα γεωμετρικό τόπο στην τύχη
και αυτός να μην έχει εξερευνηθεί είναι .

Στην ουσία.
Αν δεχθούμε ότι $0< \theta < \frac{\pi }{2}$
ο γεωμετρικός τόπος είναι

όπου

(Θεώρημα ημιτόνων και πολικές)

Σταύρε καλησπέρα...

Αναφέρομαι στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμετρικός τόπος (καμπύλη και ημιευθεία).png (9.96 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

Η πεπλεγμένη καμπύλη που εκφράζει η εξίσωση που δίνεις περιέχει:

1ο) την καμπύλη $\displaystyle{C_1}$ σχήματος που αναρτώ.

και

2ο) Την ημιευθεία $\displaystyle{d_1}$ .

Ο ζητούμενος γ. τόπος είναι προφανώς η καμπύλη $\displaystyle{C_1}$ .

Η ανωτέρω άποψη είναι χωρίς να μελετήσω αναλυτικά την αναζήτηση του τόπου αυτού, αλλά
απλά, αναζητώντας τον τόπο αυτό με το σχεδιαστικό του λογισμικού μου και επιπλέον
εκφράζοντας σε ένα σύστημα αξόνων την πεπλεγμένη μορφή που έγραψες.

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 16, 2021 2:59 pm

Δεν καταλαβαίνω γιατί διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Επίσης δεν καταλαβαίνω τι θα πει γεωμετρικός τόπος προσεγγιστικά.

Όσο για το ανεξερεύνητος η πιθανότητα να ρωτήσει κάποιος για ένα γεωμετρικό τόπο στην τύχη
και αυτός να μην έχει εξερευνηθεί είναι .

Αν δεχθούμε ότι $0< \theta < \frac{\pi }{2}$ , ο γεωμετρικός τόπος είναι :

, όπου , (Θεώρημα ημιτόνων και πολικές)

: Ανεξερεύνητος τόπος συν.png (7.42 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Ας τα δούμε :

Η σχολική ύλη των κωνικών , περιλαμβάνει μόνον εκείνες τις υπερβολές που είναι συμμετρικές ως προς το

.

Επειδή το θέμα δεν μπορεί να μπει σε σχολικό φάκελο , μια επιλογή είναι και τα : "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" .

Επειδή ο "σχολικός" λύτης "βλέπει" υπερβολή , του δίνεται η ευκαιρία να δώσει μια "περίπου λύση" , του τύπου :

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ . Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι

Η πιθανότητα είναι όντως μικρή ( κοντά στο

) . Ο συγκεκριμένος τόπος έχει με σιγουριά ξαναμελετηθεί

( πιθανότατα και με δική μου ανάρτηση ) !

Για x>0,y>0

, απλοποιώντας το

και λύνοντας ,

βρίσκουμε την γραφική παράσταση της : $f(x)=\sqrt{3x^2-2ax} , x>\dfrac{2a}{3}$ .

Άλλη εκδοχή ( για a=6

) : $\dfrac{(x-2)^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$

Στην λύση μου χρησιμοποιώ τις : $\tan\theta , \tan2\theta$ , μόνο .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 16, 2021 8:13 pm

Επειδή ο "σχολικός" λύτης "βλέπει" υπερβολή , του δίνεται η ευκαιρία να δώσει μια "περίπου λύση" , του τύπου :

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ . Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι

Aν και δεν έχει ιδιαίτερη σημασία η συζήτηση κατά πόσο το θέμα εμπίπτει ή όχι στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά, είναι
πειρασμός να πω την γνώμη μου: Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον Σταύρο.

Η δική μου άποψη, όπως του Σταύρου, είναι να μην στρεβλώνουμε το νόημα των λέξεων. Τα Διασκεδάστικά Μαθηματικά
έχουν την δική τους θεματολογία, και καλό είναι να μην δίνουμε στους μαθητές μας ψευδή εικόνα για το περιεχόμενό τους. Δεν πρέπει
ποτέ να ξεχνάμε ότι, πέρα από Μαθηματικοί, είμαστε και Δάσκαλοι.

Όπως είπε ο Αντισθένης, "Αρχή σοφίας η των ονομάτων επίσκεψις". Με άλλα λόγια, ας μην βαφτίζουμε το κρέας, ψάρι γιατί οφείλουμε
στους μαθητές μας την ακριβολογία.

Το τι είναι Διασκεδαστικά Μαθηματικά το έχω αναφέρει πολλές φορές. Βλέπε π.χ. εδώ.

KARKAR · #6

Μιχάλη , η ένστασή σου για το τι θέματα θα έπρεπε να εντάσσονται σ'αυτόν τον φάκελο είναι κατανοητή και σωστή .

Η τοποθέτηση κάποιων περίεργων θεμάτων σ'αυτόν τον φάκελο , από μέρους μου ή και από άλλους θεματοδότες,

πολλές φορές οφείλεται στην αδυναμία ένταξή τους σε κάποιο άλλο φάκελο . Επαναφέρω με την ευκαιρία την πρότασή μου

για την δημιουργία ενός φακέλου ανένταχτων θεμάτων .

Ωστόσο το σημείο της ανάρτησης που υπογραμμίζεις , αποτελεί απάντηση στο ερώτημα του Σταύρου για το τι θα πει

λύση κατά προσέγγιση , που αν μιλάμε για "διασκεδαστικά μαθηματικά" , θα μπορούσε να είναι η εξής : Για : a=6

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η υπερβολή : $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{27}=1$ , συνοδευόμενη από το παρακάτω σχήμα :

: Ανεξερεύνητος τόπος τροπ.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 938 φορές

Όπου η κόκκινη γραμμή είναι ο πραγματικός τόπος , η δε μπλε ο "κατά προσέγγιση" .

Ελπίζω , ο αναγνώστης να σκάει ένα χαμόγελο μ' αυτή την προσέγγιση

KARKAR · #7

Επεξεργαζόμενος το θέμα θυμήθηκα αυτό , το οποίο είναι και σχετικά πρόσφατο

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 7:24 am
Η τοποθέτηση κάποιων περίεργων θεμάτων σ'αυτόν τον φάκελο , από μέρους μου ή και από άλλους θεματοδότες,

πολλές φορές οφείλεται στην αδυναμία ένταξή τους σε κάποιο άλλο φάκελο . Επαναφέρω με την ευκαιρία την πρότασή μου

για την δημιουργία ενός φακέλου ανένταχτων θεμάτων .

Ένας τέτοιος φάκελος θα ήταν χρήσιμος. Για την ώρα πιστεύω ότι ο Φάκελος του Καθηγητή και ο Φάκελος Α.Σ.Ε.Π. θα μπορούσαν
να φιλοξενήσουν τα περισσότερα από τα ανένταχτα θέματα, συμπεριλαμβανομένου και του παρόντος.

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 7:24 am
Όπου η κόκκινη γραμμή είναι ο πραγματικός τόπος , η δε μπλε ο "κατά προσέγγιση" .

Ελπίζω , ο αναγνώστης να σκάει ένα χαμόγελο μ' αυτή την προσέγγιση

Δεν έχω καταλάβει τι εννοείς, και σίγουρα δεν κατάλαβα τι είναι η μπλε γραμμή.

Για να διευκρινίσουμε, ΟΛΑ μα ΟΛΑ τα γραφήματα που σχεδιάζουν τα λογισμικά είναι κατά προσέγγιση. Και αυτό γιατί οι υπολογιστές
δουλεύουν με pixel. Απλά τα pixel είναι τόσο κοντά το ένα στο άλλο που το μάτι δεν διακρίνει την διαφορά αλλά, αντιθέτως, εκλαμβάνει την εικόνα ως συνεχή γραμμή. Χρησιμότατο ως εργαλείο και σίγουρα το σχέδιο που βγάζει ο υπολογιστής είναι κλάσεις ανώτερο από αυτό που θα μπορούσε ο άνθρωπος με το χονδροειδές μολύβι του, όσο ικανός σχεδιαστής και να είναι, αλλά δεν παύει να είναι προσέγγιση.

Αν λοιπόν η κόκκινη γραμμή που σχεδίασες είναι από λογισμικό μέσω εξίσωσης ενώ η μπλε είναι μέσω της γεωμετρικής σχέσης, ΔΕΝ μπορούμε να πούμε ότι η μπλε προσεγγίζει την ορθοσχεδιασμένη κόκκινη. Και οι δύο είναι λάθος, και οι δύο είναι προσεγγίσεις της αληθινής (ιδεατής, ευκλείδειας) γραμμής ως "μήκος απλατές". Το ότι το λογισμικό έβγαλε προς το τέλος (πάνω δεξιά της εικόνας) κάποια ορατή διαφορά στα δύο γραφήματα είναι γιατί εκεί το σφάλμα είναι μεγαλύτερο: Ερμηνεύεται από το γεγονός ότι η γωνία $2\theta$ είναι σχεδόν 90^o

, και άρα η εφαπτομένη της είναι τεράστιος αριθμός (πάει προς το άπειρο και άρα έξω από την εμβέλεια του υπολογιστή) οπότε το λογισμικό επέλεξε "το λίγο δεξιότερο pixel" γιατί δεν θα μπορούσε να επιλέξει με ακρίβεια ούτε το ένα ούτε το διπλανό του.

KARKAR · #9

Η κόκκινη καμπύλη , που είναι ο τόπος που ψάχνουμε είναι καμπύλη που την αποδεχόμαστε χωρίς ενδοιασμούς

αλλιώς κανένα σχήμα δεν θα είχε νόημα . Η μπλε όμως είναι απάτη ( βλέπε σχήμα ) , γι αυτό μπορεί ίσως

να ξεγελάσει προσωρινά . Δεν θα μπορούσε , λοιπόν , να σταθεί σε μια σοβαρή διαπραγμάτευση , γι ' αυτό το ενέταξα

στα "διασκεδαστικά" .

: Ανεξερεύνητος τόπος συν.png (27 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 1:50 pm
Η μπλε όμως είναι απάτη ( βλέπε σχήμα )

Θανάση, ομολογώ ότι τώρα μπερδεύτηκα παραπάνω.

Όπως το βλέπω, είναι σαν να σχεδιάσαμε με (αποδεκτή) ακρίβεια την κόκκινη γραμμή και μετά σχεδιάσαμε μια "απάτη"
πολύ κοντα της. Ζητάμε δε από τον αναγνώστη να διακρίνει την "απάτη" λες και έχει κάποιο κριτήριο να διακρίνει το μάτι του
μια υπερβολή από μία σχεδόν υπερβολή που είναι ακριβώς δίπλα της.

Μάλλον χάνω κάτι.

KARKAR · #11

Είναι κάτι σαν αυτό : Από την στιγμή που είμαστε στον φάκελο

"Διασκεδαστικά Μαθηματικά " , αυτές οι παρασπονδίες θαρρώ πως είναι ανεκτές ...

#12

Για την εξίσωση του τόπου. Επειδή στο τρίγωνο OAS

μία γωνία είναι διπλάσια μιας άλλης θα είναι:

: Ανεξερευνητος τοπος.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

$\displaystyle O{S^2} = A{S^2} + OA \cdot AS \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {(x - a)^2} + {y^2} + a\sqrt {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \Leftrightarrow$

$\boxed{y^2=3x^2-2ax}$ όπου προφανώς $x> \dfrac{2a}{3}$

#13

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 1:50 pm
Η κόκκινη καμπύλη , που είναι ο τόπος που ψάχνουμε είναι καμπύλη που την αποδεχόμαστε χωρίς ενδοιασμούς

αλλιώς κανένα σχήμα δεν θα είχε νόημα . Η μπλε όμως είναι απάτη ( βλέπε σχήμα ) , γι αυτό μπορεί ίσως

να ξεγελάσει προσωρινά .

Για να γίνει πιο κατανοητό το σχόλιό μου στο ποστ #10 σε σχέση με τα γραφήματα στο ποστ #9 επισυνάπτω ένα σχήμα.

Συγκεκριμένα θέλω να ερμηνεύσω το σχόλιό μου:

Ζητάμε δε από τον αναγνώστη να διακρίνει την "απάτη" λες και έχει κάποιο κριτήριο να διακρίνει το μάτι του
μια υπερβολή από μία σχεδόν υπερβολή που είναι ακριβώς δίπλα της.

Για την ώρα το θέτω ως ερώτηση αλλά αργότερα θα δώσω απάντηση.

Το ερώτημα, λοιπόν, είναι ποιο από τα παρακάτω γραφήματα είναι υπερβολή και ποια δεν είναι. Αναμένω απαντήσεις. Δεν χρειάζεται αιτιολόγηση.

#14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 18, 2021 3:32 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 1:50 pm
Η κόκκινη καμπύλη , που είναι ο τόπος που ψάχνουμε είναι καμπύλη που την αποδεχόμαστε χωρίς ενδοιασμούς

αλλιώς κανένα σχήμα δεν θα είχε νόημα . Η μπλε όμως είναι απάτη ( βλέπε σχήμα ) , γι αυτό μπορεί ίσως

να ξεγελάσει προσωρινά .
Για να γίνει πιο κατανοητό το σχόλιό μου στο ποστ #10 σε σχέση με τα γραφήματα στο ποστ #9 επισυνάπτω ένα σχήμα.

Συγκεκριμένα θέλω να ερμηνεύσω το σχόλιό μου:

Ζητάμε δε από τον αναγνώστη να διακρίνει την "απάτη" λες και έχει κάποιο κριτήριο να διακρίνει το μάτι του
μια υπερβολή από μία σχεδόν υπερβολή που είναι ακριβώς δίπλα της.

Για την ώρα το θέτω ως ερώτηση αλλά αργότερα θα δώσω απάντηση.

Το ερώτημα, λοιπόν, είναι ποιο από τα παρακάτω γραφήματα είναι υπερβολή και ποια δεν είναι. Αναμένω απαντήσεις. Δεν χρειάζεται αιτιολόγηση.

.
Για να κλείσω το θέμα: Ισχυρίζομαι (βλέπε παρακάτω) ότι ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ τρόπος να διακρίνει κανείς με το μάτι ποιο από τα τρία γραφήματα στο αμέσως προηγούμενο ποστ είναι υπερβολή και ποιες είναι απάτη. Δηλαδή δεν έχει νόημα η παραπάνω φράση, που σημείωσα με κόκκινο. Υποθέτω ότι ο καθένας είπε μέσα του η τάδε από τις τρεις μου μοιάζει υπερβολή ενώ οι άλλες δύο είναι απάτη. Άλλοι πάλι μπορεί να είπαν ότι ο πονηρός Μιχάλης σχεδίασε τρεις καμπύλες που καμία δεν είναι υπερβολή. Λάθος και τα δύο! Στην πργματικότητα και οι τρεις είναι υπερβολές. Συγκεκριμένα είναι οι

$\displaystyle{ \dfrac {x^2}{2^2}-\dfrac {y^2}{2,9^2}=1,\, \, \dfrac {x^2}{2^2}-\dfrac {y^2}{3^2}=1\,\,}$ και $\displaystyle{ \dfrac {x^2}{2^2}-\dfrac {y^2}{3,1^2}=1}$ , αντίστοιχα. Και λοιπά.

KARKAR · #15

Μιχάλη , η εκφώνηση ( η δική μου ) δεν ζητά από τον αναγνώστη να διακρίνει καμπύλες . Ζητά αυτός να βρει

την - ακριβή - λύση και αν αυτό δεν είναι εφικτό να επινοήσει μία "κατά προσέγγιση" , εξ ου και το "

"

#16

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 27, 2021 11:13 am
Μιχάλη , η εκφώνηση ( η δική μου ) δεν ζητά από τον αναγνώστη να διακρίνει καμπύλες . Ζητά αυτός να βρει

την - ακριβή - λύση και αν αυτό δεν είναι εφικτό να επινοήσει μία "κατά προσέγγιση" , εξ ου και το " "

.
Ίσως χάνω κάτι αλλά αναφερόμουν μεταξύ άλλων στο ποστ #6 που λέει
.

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 7:24 am

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι...
......
Όπου η κόκκινη γραμμή είναι ο πραγματικός τόπος , η δε μπλε ο "κατά προσέγγιση" .

.
Ουσιαστικά δεν κατανοώ τι δουλειά έχουν όλα όσα αναφέρθηκαν περί προσεγγιστικής σχεδίασης του τόπου, αφού υπάρχει ο ίδιος ο ακριβής τόπος.

Ανεξερεύνητος τόπος

Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Μέλη σε σύνδεση