Μάλλον όχι

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12818
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μάλλον όχι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 11, 2021 7:01 pm

Ρωτήστε τους μαθητές του Λυκείου ( Α' , Β' ή και Γ' τάξης ) , αν πιστεύουν ότι η παράσταση :

x^4+y^4 , παραγοντοποιείται . Μάλλον όχι θα απαντήσουν . Πείστε τους ότι έχουν άδικο :?



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13631
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μάλλον όχι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 11, 2021 7:27 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 11, 2021 7:01 pm
Ρωτήστε τους μαθητές του Λυκείου ( Α' , Β' ή και Γ' τάξης ) , αν πιστεύουν ότι η παράσταση :

x^4+y^4 , παραγοντοποιείται . Μάλλον όχι θα απαντήσουν . Πείστε τους ότι έχουν άδικο :?
x^4+y^4=(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2= (x^2+y^2)^2 - (\sqrt 2 xy)^2=(x^2+\sqrt2 xy+y^2)(x^2-\sqrt 2xy+y^2)


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 633
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Μάλλον όχι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Οκτ 11, 2021 9:16 pm

Αν τους ρωτήσουμε αν παραγοντοποιειται η \displaystyle x^4+y^4+(x+y)^4 θα ήταν κάπως τρομακτικό...? :evil:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13631
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μάλλον όχι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 11, 2021 11:15 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Οκτ 11, 2021 9:16 pm
Αν τους ρωτήσουμε αν παραγοντοποιειται η \displaystyle x^4+y^4+(x+y)^4 θα ήταν κάπως τρομακτικό...? :evil:
\displaystyle x^4+y^4+(x+y)^4 = 2 x^4+   4x^3y+6x^2y^2 +4xy^3 +2 y^4=2(x^2+xy+y^2)^2

(ελέγχει κανείς με ανάπτυγμα του δεξιού μέλους).

Πώς το βρήκα; Έβαλα  2 x^4+   4x^3y+6x^2y^2 +4xy^3 +2 y^4=2(x^2+axy+y^2)(x^2+bxy+y^2) . Αναπτύσσοντας και συγκρίνοντας συντελεστές θα βγει a+b=2,\, ab=1, από όπου a=b=1.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13631
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μάλλον όχι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 12, 2021 1:41 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 11, 2021 7:01 pm
Ρωτήστε τους μαθητές του Λυκείου ( Α' , Β' ή και Γ' τάξης ) , αν πιστεύουν ότι η παράσταση :

x^4+y^4 , παραγοντοποιείται . Μάλλον όχι θα απαντήσουν . Πείστε τους ότι έχουν άδικο :?
Μια άλλη ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου εμφανίζεται το ίδιο φαινόμενο (δηλαδή να παραγοντοποιείται αλλά αν το δούμε απρόσεκτα να νομίζουμε ότι δεν παραγοντοποιείται) είναι η x^4+4y^4. Η διαφορά με την παραπάνω είναι ότι η παραγοντοποίηση περιέχει μόνο ακέραιους συντελεστές ενώ η παραπάνω εμφανίζει την \sqrt 2.

Εδώ

x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12818
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μάλλον όχι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 12, 2021 6:33 am

Πριν δέκα σχεδόν χρόνια είχαμε ξαναμιλήσει γι' αυτήν εδώ .


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 633
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Μάλλον όχι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τετ Οκτ 13, 2021 3:21 pm

Μια συζήτηση για αυτή την που ανέφερα εδώ...https://math.stackexchange.com/question ... or-xy4x4y4


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης