Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"
Αν να αποδειχθεί η ταυτότητα .
Αν πάλι και να αποδειχθεί η ταυτότητα
Αν να αποδειχθεί η ταυτότητα .
Αν πάλι και να αποδειχθεί η ταυτότητα
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Έχουμε διαδοχικά:Christos.N έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pmΤα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"
Αν να αποδειχθεί η ταυτότητα .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Εντελώς ανάλογα χρησιμοποιώντας ότι μπορούμε να δείξουμε ότι
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Aς προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι αυτή ακριβώς η μέθοδος οφείλεται στον επονοητή της ιδιότητας ,
τον εκ Σκωτίας μαθηματικό James Gregory (1638-1675), στο περίφημο βιβλίο του Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). Βλέπε εδώ.
Ο Gregory πέθανε μόλις στα του, πρόλαβε όμως να γίνει μέλος στην Royal Society ήδη από τα του.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Χρήστο καμία υπόδειξη για αυτή;Christos.N έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pmΤα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"
Αν πάλι και να αποδειχθεί η ταυτότητα
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Χρήστο,Christos.N έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pmΤα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"
Αν να αποδειχθεί η ταυτότητα .
Αν πάλι και να αποδειχθεί η ταυτότητα
πραγματικά χαριτωμένη η μεθοδολογία και μου προξένησε την απορία μήπως υπάρχει τρόπος να αποδειχθούν οι δύο ταυτότητες με χρήση παραγώγων αντί ολοκληρωμάτων. Και ναι, υπάρχει. Νομίζω ότι είναι εξίσου χαριτωμένο για την διδασκαλία μας:
α) Για σταθερό γράφουμε (θα μπορούσα να έπαιρνα , αλλά θα δούμε ότι τίποτα δεν αλλάζει στην ουσία). Είναι τότε
και , δηλαδή .
Έπεται ότι για κάποια σταθερά είναι . Βάζοντας παίρνουμε . Τελικά .
β) Θέτουμε (θα μπορούσα και ). Παραγωγίζοντας με τον κανόνα της αλυσίδας είναι
. Άρα για κάποια σταθερά είναι .
Για παίρνουμε , οπότε τελικά .
Σχολιάζω ότι με την ίδια τεχνική μπορούμε να αποδείξουμε και άλλες ταυτότητες, όπως π.χ. α) , β) και λοιπά. Επίσης, γ) θεωρώντας γνωστή την , παραγωγίζοντας βρίσκουμε την . Και άλλες.
Προσοχή, πρέπει να διευκρινίσουμε στους μαθητές μας ότι μερικές από αυτές τις αποδείξεις κάνουν κυκλικό συλλογισμό. Βρίσκονται εκεί μόνον ως χάριν παιδειάς.
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες
Κατ' αρχήν να ευχαριστήσω για την ανταπόκριση σε αυτήν την δημοσίευση τόσο τον Αποστόλη ο και τον Κ. Λάμπρου. Αλλά θα σταθώ ιδιαίτερα στην τέχνη να κάνεις ένα αρχικά τετριμμένο θέμα πολύ πιο ενδιαφέρον από ότι είχα αρχικά φανταστεί με αυτό
πραγματικά ένα ευχαριστώ Κ.Λάμπρου.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 21, 2021 5:23 pmAς προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι αυτή ακριβώς η μέθοδος οφείλεται στον επονοητή της ιδιότητας ,
τον εκ Σκωτίας μαθηματικό James Gregory (1638-1675), στο περίφημο βιβλίο του Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). Βλέπε εδώ.
Ο Gregory πέθανε μόλις στα του, πρόλαβε όμως να γίνει μέλος στην Royal Society ήδη από τα του.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 18 επισκέπτες