Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1961
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm

Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt να αποδειχθεί η ταυτότητα ln(xy)=lnx+lny.

Αν πάλι x=\int_{0}^{x}dt και x^2=\int_{0}^{x}2tdt να αποδειχθεί η ταυτότητα (x+y)^2=x^2+2xy+y^2


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4655
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 21, 2021 1:55 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt να αποδειχθεί η ταυτότητα ln(xy)=lnx+lny.
Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\ln xy &=\int_{1}^{xy}\frac{\mathrm{d}t}{t} \\ 
 & = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt + \int_{x}^{xy}\frac{\mathrm{d}t}{t} \\ 
 &\!\!\!\!\!\!\overset{t \mapsto t/x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \ln x + \int_{1}^{y} \frac{\mathrm{d}t}{t} \\ 
 &=\ln x + \ln y  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4655
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 21, 2021 1:59 pm

Εντελώς ανάλογα χρησιμοποιώντας ότι \ln x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} μπορούμε να δείξουμε ότι

\displaystyle{\ln x^\nu = \nu \ln x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13480
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 21, 2021 5:23 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Αν lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt να αποδειχθεί η ταυτότητα ln(xy)=lnx+lny.
Aς προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι αυτή ακριβώς η μέθοδος οφείλεται στον επονοητή της ιδιότητας \displaystyle{\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt},

τον εκ Σκωτίας μαθηματικό James Gregory (1638-1675), στο περίφημο βιβλίο του Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). Βλέπε εδώ.

Ο Gregory πέθανε μόλις στα 37 του, πρόλαβε όμως να γίνει μέλος στην Royal Society ήδη από τα 30 του.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4655
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 21, 2021 8:41 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν πάλι x=\int_{0}^{x}dt και x^2=\int_{0}^{x}2tdt να αποδειχθεί η ταυτότητα (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
Χρήστο καμία υπόδειξη για αυτή;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13480
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 21, 2021 10:37 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Αν πάλι x=\int_{0}^{x}dt και x^2=\int_{0}^{x}2tdt να αποδειχθεί η ταυτότητα (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
Με την αλλαγή μεταβλητής t=s+x σε κάποιο βήμα, έχουμε

\displaystyle{(x+y)^2 = \int _0^{x+y} 2tdt = \int _0^{x} 2tdt +  \int _x^{x+y} 2tdt = x^2 +  \int _0^{y} 2(s+x) ds = }

\displaystyle{=x^2 +  \int _0^{y} 2sds +2x\int _0^y ds = x^2+y^2+2xy}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13480
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 22, 2021 8:40 am

Christos.N έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt να αποδειχθεί η ταυτότητα ln(xy)=lnx+lny.

Αν πάλι x=\int_{0}^{x}dt και x^2=\int_{0}^{x}2tdt να αποδειχθεί η ταυτότητα (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
Χρήστο,

πραγματικά χαριτωμένη η μεθοδολογία και μου προξένησε την απορία μήπως υπάρχει τρόπος να αποδειχθούν οι δύο ταυτότητες με χρήση παραγώγων αντί ολοκληρωμάτων. Και ναι, υπάρχει. Νομίζω ότι είναι εξίσου χαριτωμένο για την διδασκαλία μας:

α) Για σταθερό a γράφουμε f(x) = (x+a)^2,\, g(x) = x^2+2ax (θα μπορούσα να έπαιρνα g(x)=x^2+2ax+a^2, αλλά θα δούμε ότι τίποτα δεν αλλάζει στην ουσία). Είναι τότε

\displaystyle{f'(x) =2(x+a)} και \displaystyle{g'(x)=2x+2a}, δηλαδή f'=g'.

Έπεται ότι για κάποια σταθερά c είναι  (x+a)^2= g(x)+c = x^2+2ax +c. Βάζοντας x=0 παίρνουμε c=a^2. Τελικά  (x+a)^2=  x^2+2ax +a^2.

β) Θέτουμε f(x)=\ln (ax),\, g(x) = \ln x (θα μπορούσα και g(x)=\ln x + \ln a). Παραγωγίζοντας με τον κανόνα της αλυσίδας είναι

\displaystyle{ f'(x) = \dfrac {1}{ax} \cdot a = \dfrac {1}{x} = g'(x)}. Άρα για κάποια σταθερά c είναι \ln (ax) = \ln x +c.

Για x=1 παίρνουμε c=\ln a, οπότε τελικά \ln (ax) = \ln x +\ln a.

Σχολιάζω ότι με την ίδια τεχνική μπορούμε να αποδείξουμε και άλλες ταυτότητες, όπως π.χ. α) (x+a)^3 = x^3+3ax^2+3a^2x+a^3, β) \sin ^2 x + \cos ^2 x=1 και λοιπά. Επίσης, γ) θεωρώντας γνωστή την \sin (x+a) = \sin x \cos a + \cos x \sin a , παραγωγίζοντας βρίσκουμε την \cos (x+a) = \cos x \cos a - \sin x \sin a . Και άλλες.

Προσοχή, πρέπει να διευκρινίσουμε στους μαθητές μας ότι μερικές από αυτές τις αποδείξεις κάνουν κυκλικό συλλογισμό. Βρίσκονται εκεί μόνον ως χάριν παιδειάς.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1961
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Ιούλ 22, 2021 1:11 pm

Κατ' αρχήν να ευχαριστήσω για την ανταπόκριση σε αυτήν την δημοσίευση τόσο τον Αποστόλη ο και τον Κ. Λάμπρου. Αλλά θα σταθώ ιδιαίτερα στην τέχνη να κάνεις ένα αρχικά τετριμμένο θέμα πολύ πιο ενδιαφέρον από ότι είχα αρχικά φανταστεί με αυτό
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 5:23 pm
Christos.N έγραψε:
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Αν lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt να αποδειχθεί η ταυτότητα ln(xy)=lnx+lny.
Aς προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι αυτή ακριβώς η μέθοδος οφείλεται στον επονοητή της ιδιότητας \displaystyle{\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt},

τον εκ Σκωτίας μαθηματικό James Gregory (1638-1675), στο περίφημο βιβλίο του Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). Βλέπε εδώ.

Ο Gregory πέθανε μόλις στα 37 του, πρόλαβε όμως να γίνει μέλος στην Royal Society ήδη από τα 30 του.
πραγματικά ένα ευχαριστώ Κ.Λάμπρου.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Λάμπρος Μπαλός και 1 επισκέπτης