Με οποιονδήποτε τρόπο

KARKAR · #1

: Με τέχνασμα ή και στα ίσια.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Βρείτε - με οποιονδήποτε τρόπο - το σημείο επαφής

με τον κύκλο , του "άνω"

κοινού εφαπτόμενου τμήματος

, της έλλειψης και του κύκλου του σχήματος .

#2

Αν η εφαπτομένη ευθεία έχει εξίσωση , $y = kx + m \Leftrightarrow kx - y + m = 0$

τότε οι συνθήκες επαφής με την έλλειψη και τον κύκλο είναι :

$\left\{ \begin{gathered} 25{k^2} + 16 = {m^2} \hfill \\ \frac{{\left| {7k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \pm \frac{3}{{\sqrt {91} }} \hfill \\ m = \mp \frac{{41}}{{\sqrt {91} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: με κάθε τρόπο.png (22.89 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

Η «πάνω» εφαπτομένη είναι : $\boxed{y = - \frac{3}{{\sqrt {91} }}x + \frac{{41}}{{\sqrt {91} }}}$ .

Το σύστημα αυτής με την εξίσωση του κύκλου δίνει : $\boxed{T\left( {\frac{{38}}{5},\frac{{\sqrt {91} }}{5}} \right)}$

nickchalkida · #3

Επειδή δεν γνωρίζω γεωμετρική κατασκευή τέτοιας εφαπτομένης (ίσως υπάρχει ... δεν βρήκα),
θεώρησα σκόπιμο να εμβαθύνω μέχρι το σημείο που θεωρούσα διασκέδαση.

[Κεντρική ιδέα] Έστω

τυχόν σημείο της έλλειψης,

η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο,
και (K,BK)

ο εφαπτόμενος σε έλλειψη και εφαπτομένη, κύκλος.
(Προφανώς το

είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας $B\widehat{Q}T$ .)
Υπολογίζω τότε την ακτίνα του εφαπτόμενου κύκλου σαν συνάρτηση του τμήματος a=BD

.
Παραθέτω συνοπτικά την ανάλυση που έκανα. (Το "given" ας μεταφραστεί κατάλληλα ως "δεδομένο" ή "υπολογίζεται")

$\displaystyle{ \begin{aligned} &orthia = 10\cdot {4^2 \over 5 \cdot 5} = 6.4 \cr & \cr BD\ given & \ \rightarrow \cr AD \ given &:: AD = 10 -a \rightarrow \cr SD \ given &:: {SD^2 \over DA \cdot DB} = {orthia \over AB} \rightarrow SD^2 = {64 a(10-a) \over 100} \rightarrow \cr & \cr P \ given &:: {PB \over PA} = {a \over 10-a} \rightarrow PB = {10a \over 10-2a} \rightarrow \cr & \cr QB \ given &:: {QB^2 \over SD^2} = {PB^2 \over PD^2} \rightarrow QB^2 = {16a \over 10-a} \rightarrow \cr & \cr QP \ given &:: QP^2 = QB^2 + BP^2 \rightarrow QP^2 = {16a \over 10-a} + {100a^2 \over (10-2a)^2} \rightarrow \cr & \cr {KP \over BK} \ given &:: {KP^2 \over BK^2} = {QP^2 \over QB^2} \rightarrow \cdots \rightarrow {KP \over BK} = {\sqrt{(10+3a)(40-3a)} \over 2(10-2a)} \rightarrow \cr & \cr BK \ given &:: \cdots BK = {20a \over 2(10-2a)+\sqrt{(10+3a)(40-3a)}} \rightarrow \cr \end{aligned} }$

Για BK=2

βρίσκω τότε $\displaystyle a = DB = {130 \over 41}$

Με οποιονδήποτε τρόπο

Με οποιονδήποτε τρόπο

Re: Με οποιονδήποτε τρόπο

Re: Με οποιονδήποτε τρόπο

Μέλη σε σύνδεση