«Χρυσή» εξίσωση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4662
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

«Χρυσή» εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 29, 2021 1:42 am

Να λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{\left ( x -\frac{1}{x} \right )^{1/2} + \left ( 1- \frac{1}{x} \right )^{1/2} = x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: «Χρυσή» εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 29, 2021 7:27 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Απρ 29, 2021 1:42 am
Να λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{\left ( x -\frac{1}{x} \right )^{1/2} + \left ( 1- \frac{1}{x} \right )^{1/2} = x }
Από τον τίτλο και μόνο, υπέθεσα ότι \boxed{x = \Phi  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}} Πράγματι για κάθε x \ge 1 είναι:

\displaystyle \sqrt {\frac{{{x^2} - 1}}{x}}  = x - \sqrt {\frac{{x - 1}}{x}} ,

\displaystyle \frac{{{x^2} - 1}}{x} = {x^2} + \frac{{x - 1}}{x} - 2x\frac{{\sqrt {{x^2} - x} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 2\sqrt {{x^2} - x} \mathop  \Leftrightarrow \limits^{{x^2} - x = t}

\displaystyle t - 2\sqrt t  + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 και \displaystyle {x^2} - x - 1 = 0, απ' όπου προκύπτει ο χρυσός λόγος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης