Είστε σοβαροί ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Είστε σοβαροί ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm

Λύστε την εξίσωση : \dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2 , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Είστε σοβαροί ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Τετ Απρ 28, 2021 1:18 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm
Λύστε την εξίσωση : \dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2 , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη :lol:
Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε:
\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Rightarrow \sqrt{x-2}=(x-2)^{2}
Θέτουμε τώρα για ευκολία: x-2=y, οπότε:
\sqrt{y}=y^{2} \Rightarrow y=y^{4}\Rightarrow
y(y^{3}-1)=0 \Rightarrow y=0,1 \Rightarrow
\Rightartow x-2=0,1 \Rightarrow x=2,3.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Είστε σοβαροί ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 28, 2021 5:13 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm
Λύστε την εξίσωση : \dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2 , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη :lol:
Εύκολα \displaystyle \sqrt {x - 2}  = {(x - 2)^2} με φανερή ρίζα \boxed{x=2} και για x>2,

\displaystyle \ln \sqrt {x - 2}  = \ln {(x - 2)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln (x - 2) = 2\ln (x - 2) \Leftrightarrow \ln (x - 2) = 0 = \ln 1 \Leftrightarrow \boxed{x=3}


nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Είστε σοβαροί ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Απρ 29, 2021 9:54 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm
Λύστε την εξίσωση : \dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2 , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη :lol:
α) (Όμοιος τρόπος με παραπάνω) Για x\geq2 έχουμε τις ισοδυναμίες:

\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Leftrightarrow  \sqrt{x-2}=(x-2)^{2} \Leftrightarrow x-2=(x-2)^4 \Leftrightarrow
x^4-8x^3+24x^2-33x+18=0 \Leftrightarrow (Horner)
(x-2)(x-3)(x^2+3x+3)=0 \Leftrightarrow  x=2, x=3

β) Πάλι για x\geq2 έχουμε τις ισοδυναμίες:

\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Leftrightarrow  \sqrt{x-2}=(x-2)^{2} \Leftrightarrow  \sqrt{x-2}= \sqrt{x-2}^{4} \Leftrightarrow
 \sqrt{x-2} -  \sqrt{x-2}^{4} =0 \Leftrightarrow  \sqrt{x-2}(1 -  \sqrt{x-2}^{3}) =0  \Leftrightarrow
\sqrt{x-2}=0 \; \;   \acute{\eta } \;\;    \sqrt{x-2}^{3}=1  \Leftrightarrow x=2 \;\;    \acute{\eta } \;\;    x=3


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Είστε σοβαροί ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 30, 2021 7:24 am

Αντίστροφη.png
Αντίστροφη.png (19.76 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Πολλαπλασιάζοντας επί 2 και προσθέτοντας 2 στα δύο μέλη , η εξίσωση γράφεται :

2+\sqrt{x-2}=x^2-4x+6 , η οποία ( λόγω μονοτονίας της f - βλέπε σχήμα )

είναι ισοδύναμη με την : x^2-4x+6=x , που βέβαια έχει ρίζες 2 και 3 .

Μην βιαστείτε να αναφωνήσετε : Είσαι σοβαρός ; Λόγω φακέλου έχω εξασφαλισμένη ασυλία :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης