Περιοδική ακολουθία
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Περιοδική ακολουθία
Καλησπέρα!
Μια ιδιοκατασκευή:
Έστω συνάρτηση και κάποια τιμή . Ξεκινάμε από την τιμή και υπολογίζουμε τις τιμές , σχηματίζοντας άπειρη ακολουθία.
Για κάποιες συναρτήσεις και για κάποιες αρχικές τιμές , η ακολουθία που σχηματίζεται είναι περιοδική. Παράδειγμα : , οπότε έχουμε την ακολουθία .
Έστω . Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του , ώστε η ακολουθία που σχηματίζεται να είναι περιοδική.
Μια ιδιοκατασκευή:
Έστω συνάρτηση και κάποια τιμή . Ξεκινάμε από την τιμή και υπολογίζουμε τις τιμές , σχηματίζοντας άπειρη ακολουθία.
Για κάποιες συναρτήσεις και για κάποιες αρχικές τιμές , η ακολουθία που σχηματίζεται είναι περιοδική. Παράδειγμα : , οπότε έχουμε την ακολουθία .
Έστω . Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του , ώστε η ακολουθία που σχηματίζεται να είναι περιοδική.
Κώστας
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Περιοδική ακολουθία
Καλησπέρα!
Πριν δώσω τη λύση , θα ήθελα να πω ότι η λύση είναι πολύ απλή ,καθώς στηρίζεται σε μία απλή παρατήρηση (λύση 2-3 γραμμών). Αν είχαμε να κάνουμε με άλλη συνάρτηση θα ήταν ίσως πολύ δύσκολα τα πράγματα , αλλά η επιλογή της συγκεκριμένης συνάρτησης επιτρέπει να δώσουμε πολύ σύντομη και απλή απόδειξη. Αυτό καθιστά και το θέμα διασκεδαστικό, εξ ου και ο φάκελος.
Πριν δώσω τη λύση , θα ήθελα να πω ότι η λύση είναι πολύ απλή ,καθώς στηρίζεται σε μία απλή παρατήρηση (λύση 2-3 γραμμών). Αν είχαμε να κάνουμε με άλλη συνάρτηση θα ήταν ίσως πολύ δύσκολα τα πράγματα , αλλά η επιλογή της συγκεκριμένης συνάρτησης επιτρέπει να δώσουμε πολύ σύντομη και απλή απόδειξη. Αυτό καθιστά και το θέμα διασκεδαστικό, εξ ου και ο φάκελος.
Κώστας
Re: Περιοδική ακολουθία
Η συνθήκη περιοδικότητας είναι ισοδύναμη με το να υπάρχει θετ. ακερ. και πραγματικός τέτοιος ώστε ( σύνθεση).
Παρατηρούμε όμως ότι με ισότητα ανν ή . Άρα (επαγωγικά) και συνεπώς πρέπει ή . Και τα δύο ικανοποιούν αφού και .
Παρατηρούμε όμως ότι με ισότητα ανν ή . Άρα (επαγωγικά) και συνεπώς πρέπει ή . Και τα δύο ικανοποιούν αφού και .
Re: Περιοδική ακολουθία
Πολύ ωραία!
Στη λύση σας φαίνεται ξεκάθαρα η ιδέα κατασκευής της άσκησης, δηλαδή η ανισότητα .
Σας ευχαριστώ για την απάντηση!
Στη λύση σας φαίνεται ξεκάθαρα η ιδέα κατασκευής της άσκησης, δηλαδή η ανισότητα .
Σας ευχαριστώ για την απάντηση!
Κώστας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες