Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

KARKAR · #1

Υπολογίστε τον θετικό αριθμό

, ώστε : $\displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 23, 2021 2:51 pm
Υπολογίστε τον θετικό αριθμό , ώστε : $\displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k$

Θέτοντας $\sqrt {kx+1}=y$ , το αόριστο ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\dfrac {2}{k^2} \int (y^2-1)dy}$ (απλό τώρα). Οπότε το δοθέν ισούται με μία μεγάλη παράσταση που δεν αξίζει το μελάνι της να την γράψω. Από ότι βλέπω, εκτός αν υπάρχει καλύτερος τρόπος, η άσκηση έχει περισσότερες επίπονες πράξεις από την αξία της.

Το γυρίζω σε Λογισμικό. Δίνει $\displaystyle{ \dfrac {4}{3k^2} \left (10\sqrt {20k^2+1}k^2-\sqrt{2k^2+1}k^2-\sqrt {20k^2+1}+\sqrt{2k^2+1}\right )}$ .

H δε εξίσωση 57 k =

το προηγούμενο έχει λύση, πάντα κατά το Λογισμικό, k=2

.

Γενικό σχόλιο: Πέσαμε σε άσκηση ακριβώς του τύπου που πρέπει να αποφεύγουμε στα Μαθηματικά. Μήπως εντάσσεται στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά; Κάθε άλλο. Κατατρομάζει τους μαθητές μας.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 23, 2021 2:51 pm
Υπολογίστε τον θετικό αριθμό , ώστε : $\displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k$

Με τον μετασχηματισμό που γράφει ο Μιχάλης εύκολα βρίσκω ότι μία παράγουσα της συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \frac{x}{{\sqrt {kx + 1} }}$

είναι η $\displaystyle F(x) = \frac{{2(kx - 2)\sqrt {kx + 1} }}{{3{k^2}}}.$ Στη συνέχεια η λύση της εξίσωσης F(20k)-F(2k)=57k

δίνει το

αποτέλεσμα. Αν δεν υπάρχει κάποιο τέχνασμα, δεν θα έμπαινα στον κόπο να λύσω μία τέτοια εξίσωση.

nickchalkida · #4

Παρατήρηση:
Θεωρώντας τις υπόριζες ποσότητες στον μαθηματικό τύπο που έδωσε ο Μιχάλης
και αναζητώντας ακέραιες λύσεις για τις :

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \bullet\ 2k^2 + 1 = m^2 \cr & \bullet\ 20k^2 + 1 = m^2 \cr & \cdots \cr & \bullet\ ak^2 + 1 = m^2 \cr \end{aligned} }$

ή ισοδύναμα για την m^2-ak^2=1

, οδηγούμαστε
στην Pell's equation

$\displaystyle{ x^2-ny^2 = 1 }$

Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση