Ακεραιότης

KARKAR · #1

: Ακεραιότης.png (7.14 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

Μαντέψτε τις - ακέραιες - συντεταγμένες των σημείων P , T, S

του σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 16, 2021 9:03 pm
Ακεραιότης.pngΜαντέψτε τις - ακέραιες - συντεταγμένες των σημείων του σχήματος .

Υπάρχουν πολλές λύσεις, π.χ. $P(9,1),\, T(5,4)$ .

Μέθοδος: Έστω $P(p,q),\, T(s,t)$ . Τότε $\tan \hat A= \dfrac {t}{10-s},\, \tan \hat O= \dfrac {q}{p}$ . Από το τρίγωνο OSA

έχουμε $\hat A + \hat O=45$ άρα

$\dfrac {t}{10-s}=\tan \hat A= \tan (45-\hat O)= \dfrac {1-\tan \hat O}{1+\tan \hat O} = \dfrac {p-q}{p+q}$

Δηλαδή ζητάμε ακέραιους $s,\,t,\,p,\, q$ με $\dfrac {t}{10-s}=\dfrac {p-q}{p+q}$

Επειδή από το σχήμα έχουμε $0<p<10,\, 0<q< p,\, 0<s<10$ έχουμε "λίγα" να ελέγξουμε. Μία λύση από πολλές είναι αυτή που έδωσα, δηλαδή η $s=5,\, t=4,\, p=9,\, q=1$ . Άλλωστε ο θεματοθέτης μας επιτρέπει να "μαντέψουμε".

Εμπειρικός έλεγχος: Με κομπιουτεράκι βγαίνει $\hat A \approx 38,65^o,\, \hat O\approx 6,35^o$ και εδώ $\hat A +\hat O=45^o$

Edit αργότερα: Το παραπάνω δεν είναι πλήρες. Ξέχασα να συμπληρώσω ότι πρέπει να επιλέξουμε τα σημεία να είναι πάνω στον κύκλο. Αυτό μεταφράζεται ως $\angle OTA =\angle OPA$ . Με κλίσεις από τις κλίσεις των $OA, \,OT, \,TA,\,PA$ μεταφράζεται ως

$\displaystyle{\dfrac {10t}{s^2-10s+t^2}= \dfrac {10q}{p^2-10p+q^2}\, (*)}$ . Δηλαδή από τις ακέραιες λύσεις που θα βρούμε πρέπει να ελέγξουμε ποιες ικανοποιούν και την (*)

. Μία τέτοια (δεν ξέρω αν έχει άλλες) είναι η $T(2,4)\, P(9,3)$ . Σε αυτή την περίπτωση παρατηρώ ότι το δοθέν τόξο είναι ημικύκλιο και οι $\hat T, \, \hat P$ ορθές.

#3

: ακεραιότης_α.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Ακεραιότης

Ακεραιότης

Re: Ακεραιότης

Re: Ακεραιότης

Μέλη σε σύνδεση