Μεγάλες κατασκευές 44

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 44

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 29, 2020 1:28 pm

Μεγάλες κατασκευές 44.png
Μεγάλες κατασκευές 44.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
Τα ημικύκλια με διαμέτρους AB=6 και BC=4 , εφάπτονται εξωτερικά στο B .

Εντοπίστε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S , ώστε αν φέρουμε τα εφαπτόμενα προς

τα ημικύκλια τμήματα SP , ST , να είναι : \widehat{PST}=90^0 και : SP+ST=12 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1437
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 44

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Δεκ 29, 2020 3:22 pm

Πρώτα και κύρια να ευχηθώ καλή χρονιά σε όλους μας.
Δεύτερον, να ευχαριστήσω τον KARKAR, διότι με τα σχετικά θέματα που προτείνει δείχνει που έλυναν οι αρχαίοι Έλληνες δευτεροβάθμιες πολυωνυμικές εξισώσεις με τη χρήση των μεθόδων της Γεωμετρίας.
Τέτοια, θέματα "κουμπώνουν" μια χαρά με την ενότητα που έχω να παρουσιάσω στους φοιτητές του Μαθηματικού του Α.Π.Θ. για την επίλυση εξισώσεων μέσω της Γεωμετρίας.
Συγνώμη που δεν κάνω σχήμα και βασίζομαι μόνο στο σχήμα του Θανάση.
Ονομάζω O το κέντρου του κύκλου με διάμετρο 6 και K το κέντρο του κύκλου με διάμετρο 4.
Φέρουμε τις ακτίνες των δύο κύκλων από τα σημεία επαφής τους και οι φορείς τους τέμνονται στο σημείο D.
Το τετράπλευρο SPDT είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Ισχύει PS + ST = 12 = PD + DT = 3 + OD + 2 + KD, Αυτό σημαίνει ότι OD + DK = 7, (1)

Όμως, το τρίγωνο ODK είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα OK = 5. Αυτό σημαίνει ότι OD^2 + DK^2 = 25, (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει - με την χρήση της ταυτότητας (a+b)^2 -2ab = a^ + b^2 που ήταν γνωστή στους αρχαίους με γεωμετρική μορφή - ότι ζητούμε την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου ODK με υποτείνουσα OK για το οποίο το άθροισμα των κάθετων πλευρών του είναι 7 και το γινόμενο τους 12. Δηλαδή, τα μήκη τους είναι \frac{7+\sqrt{5}}{2} και  \frac{7-\sqrt{5}}{2} .
Η κατασκευή αυτών των μηκών υπάρχει ακόμα στα σχολικά μας εγχειρίδια της Β ΓΕΛ,
άλλο που δεν διδάσκεται σχεδόν ποτέ, (το τονίζω, σχεδόν ποτέ). Δεν έγραψα τη λύση με πολλές λεπτομέρειες, αλλά οι ενδιαφερόμενοι μερακλήδες μαθητές μπορούν να ολοκληρώσουν μόνοι τους κάποια μικροβήματα της λύσης που έχουν ασάφειες.
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Κυρ Ιαν 03, 2021 9:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5623
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 44

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Δεκ 29, 2020 5:10 pm

Γεια σας Θανάση και Ανδρέα.
Επιτρέψτε μου και την εξής κατασκευή του D (εν γένει δύο λύσεις) του Ανδρέα, άρα και του ζητούμενου (χωρίς μετρική γεωμετρία):
απ.png
απ.png (118.11 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 44

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 29, 2020 6:44 pm

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Στην ουσία είναι η κατασκευή του Ανδρέα.
Μεγάλες κατασκευές.44.png
Μεγάλες κατασκευές.44.png (21.24 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Στο ημικύκλιο διαμέτρου OK=5 παίρνω σημείο L ώστε OL=3 (συμπτωματικά το L ανήκει και στο ημικύκλιο (O)).

Φέρνω τις OP\bot OL, KT\bot KL (P, T σημεία των ημικυκλίων (O), (K) αντίστοιχα). Οι εφαπτόμενες στα P, T

ορίζουν το ζητούμενο σημείο S. Ανάλογα ορίζεται το σημείο S' για OL'=4.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 44

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 29, 2020 6:56 pm

Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα .
μεγάλες κατασκευές_44_b.png
μεγάλες κατασκευές_44_b.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
α) Το S ανήκει στον ριζικό άξονα και τότε η απόσταση του από το σημείο επαφής D των δύο κύκλων είναι SD = SP = ST = 6.
μεγάλες κατασκευές_44_a.png
μεγάλες κατασκευές_44_a.png (22.53 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
β) ST > SP . Τότε αν M η τομή του ριζικού άξονα με το ST . αβίαστα προκύπτει

ότι MD = 4\,\,,\,\,SP = 5\,\,,\,\,ST = 7 και η κατασκευή προφανής.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 44

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 29, 2020 7:29 pm

Μεγάλες κατασκευές 44.png
Μεγάλες κατασκευές 44.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Η λύση του Αντρέα με ελαφρά διαφορετικό τελείωμα : x+3+y+2=12 ή : x+y=7

και x^2+y^2= 25 , οπότε : (x,y)=(4,3) ή (x,y)=(3,4) ,, που δίνουν τις δύο λύσεις του Νίκου

( είναι ο λόγος που το θέμα μπήκε σ'αυτόν τον φάκελο :lol: ) .

Και τώρα ήρθε η ώρα για το αμείλικτο ερώτημα : Με μόνη την απαίτηση τα SP , ST να είναι κάθετα , μπορείτε

να βρείτε ή έστω να "προσεγγίσετε" , τον γεωμετρικό τόπο του σημείου S ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 44

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 30, 2020 4:41 pm

Μεγάλες κατασκευές.44β.png
Μεγάλες κατασκευές.44β.png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Το πάνω μοιάζει να είναι τόξο κύκλου, αλλά μάλλον δεν είναι. Το κάτω, μη ρωτάς τι είναι... :roll:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες