Ευλογημένες τριάδες

KARKAR · #1

Οι

και

είναι παραδείγματα τριάδων ακεραίων : c,b,a

, με

,

τα τρία μέλη των οποίων είναι πλευρές τριγώνου , για τις οποίες ισχύει : c^2+a^2=2b^2

.

α) Δείξτε ότι το μήκος της πλευράς

, βρίσκεται "πιο κοντά" σ' εκείνο της

, απ' ότι της

.

β) Βρείτε έναν τρόπο παραγωγής τέτοιων τριάδων . Εξηγήστε τον και σε μας

Manolis Petrakis · #2

Για το

πολύ απλά η δοθείσα είναι ισοδύναμη με $a^2-b^2=b^2-c^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b)=(b-c)(b+c)\Leftrightarrow \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{b+c}{a+b}<1\Leftrightarrow a-b<b-c$
Έτσι το μήκος της πλευράς

, βρίσκεται "πιο κοντά" σ' εκείνο της

, απ' ότι της

.
B) Είναι a^2+c^2=2b^2

έτσι οι

είναι και οι

άρτιοι ή και οι

περιττοί
Μπορούμε έτσι να θέσουμε ότι: a=m+n, c=m-n

Έτσι έχουμε: $(m+n)^2+(m-n)^2=2b^2\Leftrightarrow m^2+n^2=b^2$
Απ' όπου παίρνουμε τις πυθαγόρειες τριάδες π.χ
(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(8,15,17)...

Έτσι αν

και

τότε $a=A+B,b=C=\sqrt{A^2+B^2},c=A-B$

#3

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:24 pm
Για το πολύ απλά η δοθείσα είναι ισοδύναμη με $a^2-b^2=b^2-c^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b)=(b-c)(b+c)\Leftrightarrow \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{b+c}{a+b}<1\Leftrightarrow a-b<b-c$
Έτσι το μήκος της πλευράς , βρίσκεται "πιο κοντά" σ' εκείνο της , απ' ότι της .
B) Είναι έτσι οι είναι και οι άρτιοι ή και οι περιττοί
Μπορούμε έτσι να θέσουμε ότι:
Έτσι έχουμε: $(m+n)^2+(m-n)^2=2b^2\Leftrightarrow m^2+n^2=b^2$
Απ' όπου παίρνουμε τις πυθαγόρειες τριάδες π.χ

Έτσι αν και τότε $a=\dfrac{A+B}{2},b=C=\sqrt{A^2+B^2},c=\dfrac{A-B}{2}$

Αφού για μια ακόμη φορά δώσω τα εύσημα στον εκ Κρήτης καταγόμενο και εις το Αγρίνιο διαμένοντα , Μανώλη

Σας δίνω ένα πίνακα, με αρκετές τριάδες , που έγινε με λογιστικό φύλλο ( έκανα μισθοδοσίες από το 1992-2011) και με ρουτίνες που κάνουν έλεγχο και επαλήθευση ( τώρα και της τριγωνικής ανισότητας!) .

: Ευλ_τριάδες.png (53.4 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές

Ευλογημένες τριάδες

Ευλογημένες τριάδες

Re: Ευλογημένες τριάδες

Re: Ευλογημένες τριάδες

Μέλη σε σύνδεση