Ευλογημένες τριάδες

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ευλογημένες τριάδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 22, 2020 12:36 pm

Οι  ( 7,13,17 ) και  ( 7,17,23 ) είναι παραδείγματα τριάδων ακεραίων : c,b,a , με c<b<a ,

τα τρία μέλη των οποίων είναι πλευρές τριγώνου , για τις οποίες ισχύει : c^2+a^2=2b^2 .

α) Δείξτε ότι το μήκος της πλευράς b , βρίσκεται "πιο κοντά" σ' εκείνο της a , απ' ότι της c .

β) Βρείτε έναν τρόπο παραγωγής τέτοιων τριάδων . Εξηγήστε τον και σε μας :P



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ευλογημένες τριάδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:24 pm

Για το A πολύ απλά η δοθείσα είναι ισοδύναμη με a^2-b^2=b^2-c^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b)=(b-c)(b+c)\Leftrightarrow \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{b+c}{a+b}<1\Leftrightarrow a-b<b-c
Έτσι το μήκος της πλευράς b , βρίσκεται "πιο κοντά" σ' εκείνο της a , απ' ότι της c.
B) Είναι a^2+c^2=2b^2 έτσι οι a,b είναι και οι 2 άρτιοι ή και οι 2 περιττοί
Μπορούμε έτσι να θέσουμε ότι: a=m+n, c=m-n
Έτσι έχουμε: (m+n)^2+(m-n)^2=2b^2\Leftrightarrow m^2+n^2=b^2
Απ' όπου παίρνουμε τις πυθαγόρειες τριάδες π.χ
(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(8,15,17)...
Έτσι αν A^2+B^2=C^2 και A>B τότε a=A+B,b=C=\sqrt{A^2+B^2},c=A-B
τελευταία επεξεργασία από Manolis Petrakis σε Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ευλογημένες τριάδες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:19 pm

Manolis Petrakis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:24 pm
Για το A πολύ απλά η δοθείσα είναι ισοδύναμη με a^2-b^2=b^2-c^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b)=(b-c)(b+c)\Leftrightarrow \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{b+c}{a+b}<1\Leftrightarrow a-b<b-c
Έτσι το μήκος της πλευράς b , βρίσκεται "πιο κοντά" σ' εκείνο της a , απ' ότι της c.
B) Είναι a^2+c^2=2b^2 έτσι οι a,b είναι και οι 2 άρτιοι ή και οι 2 περιττοί
Μπορούμε έτσι να θέσουμε ότι: a=m+n, c=m-n
Έτσι έχουμε: (m+n)^2+(m-n)^2=2b^2\Leftrightarrow m^2+n^2=b^2
Απ' όπου παίρνουμε τις πυθαγόρειες τριάδες π.χ
(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(8,15,17)...
Έτσι αν A^2+B^2=C^2 και A>B τότε a=\dfrac{A+B}{2},b=C=\sqrt{A^2+B^2},c=\dfrac{A-B}{2}
Αφού για μια ακόμη φορά δώσω τα εύσημα στον εκ Κρήτης καταγόμενο και εις το Αγρίνιο διαμένοντα , Μανώλη :clap2:

Σας δίνω ένα πίνακα, με αρκετές τριάδες , που έγινε με λογιστικό φύλλο ( έκανα μισθοδοσίες από το 1992-2011) και με ρουτίνες που κάνουν έλεγχο και επαλήθευση ( τώρα και της τριγωνικής ανισότητας!) .
Ευλ_τριάδες.png
Ευλ_τριάδες.png (53.4 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες