Οριακή διαφορά ορίων

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12322
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Οριακή διαφορά ορίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 14, 2020 11:21 am

Να συγκρίνετε ( νομότυπα ! ) τα παρακάτω όρια :

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left({\dfrac{3x+1}{3x-1}\right)^x} , \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left({\sqrt{x+\dfrac{2\pi^2}{5}\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3317
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Οριακή διαφορά ορίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:02 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 11:21 am
Να συγκρίνετε ( νομότυπα ! ) τα παρακάτω όρια :

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left({\dfrac{3x+1}{3x-1}\right)^x} , \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left({\sqrt{x+\dfrac{2\pi^2}{5}\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)
το ένα όριο είναι e^{\frac{2}{3}}
και το άλλο \frac{\pi ^{2}}{5}
Είναι αυτονόητο ότι \frac{\pi ^{2}}{5}> e^{\frac{2}{3}}
Πας σε κομπιουτεράκι ,ενω αν είσαι στον προηγούμενο αιώνα τα εκτιμάς.
Αρκεί να θεωρήσεις ότι \pi > 3,14
και να πάρεις ότι
e^{x}\leq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+3\frac{x^4}{24}
όταν x<1


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13155
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οριακή διαφορά ορίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:05 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 11:21 am
Να συγκρίνετε ( νομότυπα ! ) τα παρακάτω όρια :

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left({\dfrac{3x+1}{3x-1}\right)^x} , \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left({\sqrt{x+\dfrac{2\pi^2}{5}\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)
H εύρεση των ορίων είναι στάνταρ.

Το πρώτο είναι

\displaystyle{= \dfrac{(3x)^x \left(1+\dfrac {1}{3x}\right )^x }{(3x)^x \left(1-\dfrac {1}{3x}\right )^x  }\to  \dfrac {e^{1/3} }{e^{-1/3}}= e^{2/3}}

To δεύτερο με πολλαπλασιασμό με τον συζυγή είναι

\displaystyle{=\dfrac {a\sqrt{x}}{\sqrt{x+a\sqrt{x}}+\sqrt{x}} \to a/2 = \dfrac{\pi^2}{5}}

Οπότε συγκρίνουμε τους δύο αριθμούς.

Με καθόλου διασκεδαστικό τρόπο (που υποθέτω ότι επιτρέπεται σε αυτόν τον φάκελο) το κομπιουτεράκι μου δίνει τιμές \approx 1,97 και \approx 1,94, αντίσοιχα.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες