Σταθερά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 610
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Σταθερά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Οκτ 09, 2020 1:38 pm

Για ποια τιμή της σταθεράς c η εξίσωση παρακάτω έχει ακριβώς μια διπλή ρίζα.

\displaystyle (x+2)^2(x+7)^2+c=0

(Το χ είναι πραγματικός)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σταθερά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Οκτ 09, 2020 2:09 pm



Kαλαθάκης Γιώργης
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Σταθερά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Παρ Οκτ 09, 2020 3:15 pm

Πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος στη διατύπωση - εκτός αν χάνω κάτι. Αρχικά, προφανώς c\le0, συνεπώς c=-k^2 για κάποιο k\geq0. Διαδοχικά, έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
&(x+2)^2(x+7)^2-k^2=0\iff\\ 
&((x+2)(x+7)-k)((x+2)(x+7)+k)=0\iff\\ 
&(x^2+9x+14-k)(x^2+9x+14+k)=0\iff\\ 
&\left(\left(x+\frac{9}{2}\right)^2-\frac{25}{4}-k\right)\left(\left(x+\frac{9}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+k\right)=0. 
\end{aligned}}

Η παράσταση στην αριστερή παρένθεση έχει πάντα δύο διαφορετικές ρίζες, για k\geq0, άρα δεν μπορούμε να έχουμε μονάχα μία διπλή ρίζα.

Διπλή ρίζα έχουμε για c=-\frac{625}{16}, αλλά δεν είναι μόνο αυτή - το «ακριβώς» δεν μπορεί να ικανοποιηθεί.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 610
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Σταθερά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Οκτ 09, 2020 3:27 pm

Βάζω και την Πηγή...προέρχεται από Ινδικό Διαγωνισμό για την εισαγωγή στο Δημόσιο... :idea:

Εικόνα


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Σταθερά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Παρ Οκτ 09, 2020 9:51 pm

mick7 έγραψε:
Παρ Οκτ 09, 2020 3:27 pm
Βάζω και την Πηγή...προέρχεται από Ινδικό Διαγωνισμό για την εισαγωγή στο Δημόσιο... :idea:

Εικόνα
Αρχικά, η τελευταία πρόταση ότι «η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου είναι χρονοβόρα» είναι αρκετά άστοχη, ομολογουμένως.

Ενδεχομένως το «ακριβώς» να αναφέρεται στη μοναδικότητα σε σχέση με το πλήθος των διπλών ριζών - δηλαδή, να μην έχει δύο διπλές ρίζες όπως όταν c=0.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης