Υπερήλικη

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Υπερήλικη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 25, 2020 10:07 am

Δείξετε ότι \displaystyle 0<x<1\Rightarrow \pi <\frac{\sin (\pi x)}{x-{{x}^{2}}}\le 4

Από G.H. Hardy-1908

Edit (23:00) Χωρίς λύση , τελικά .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Υπερήλικη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Σεπ 28, 2020 8:52 am

Μια πρώτη προσέγγιση θα ήταν να γίνει ανάπτυγμα Taylor της sin({\pi*x}), όπου
sin({\pi*x})\approx \pi*x-\frac{(\pi*x)^3}{3!}+\frac{(\pi*x)^5}{5!}-\frac{(\pi*x)^7}{7!}+\O(9)=h(x)
Ετσι η αρχική f(x)=\frac{sin({\pi*x})}{x-x^2} μελετάται με την πολυωνυμική της "προσέγγιση" και το αποτέλεσμα για λόγους οικονομίας χώρου και πράξεων είναι στην εικόνα
Στιγμιότυπο οθόνης (57).png
Στιγμιότυπο οθόνης (57).png (188.18 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Στη δεύτερη προσέγγιση λύσης θεωρούμε την αρχική f(x), , x\in (0,1) , συνεχής και παραγωγίσιμη στο παραπάνω διάστημα με \lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}\frac{sin({\pi*x})}{x-x^2}=\lim_{x\to0+}(\frac{sin({\pi*x})}{\pi*x})(\frac{\pi}{1-x})=\pi και

\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}\frac{sin({\pi*x})}{x-x^2}=(\frac{0}{0}) (DLH)=\lim_{x\to1-}(\frac{\pi*cos({\pi*x})}{1-2x}=\pi

Χρησιμοποιώντας κριτήριο παρεμβολής \left | \frac{sin(\pi*x))}{x-x^2} \right |\leq \frac{1}{x-x^2}=g(x)
με g(x) \downarrow x\in(0,\frac{1}{2}) και g(x) \uparrow x\in(0,\frac{1}{2}) , το αποίο αποδεικνύεται εύκολα μέσω μελέτης και g_{min}=g(\frac{1}{2})=4.
Εφόσον για κάθε x\in(0,1),  f(x)\leq g(x), τότε f_{max}\leq g_{min} =4.
Στιγμιότυπο οθόνης (59).png
Στιγμιότυπο οθόνης (59).png (115.06 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπερήλικη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Σεπ 28, 2020 11:39 am

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 25, 2020 10:07 am
Δείξετε ότι \displaystyle 0<x<1\Rightarrow \pi <\frac{\sin (\pi x)}{x-{{x}^{2}}}\le 4

Από G.H. Hardy-1908

Edit (23:00) Χωρίς λύση , τελικά .
Δεν βλέπω κάτι δύσκολο στην άσκηση. Ο παρονομαστής στο μεσαίο κλάσμα είναι θετικός στο (0,1). Πολλαπλασιάζοντας με αυτόν σε κάθε μέλος παίρνουμε δύο ανισότητες που πρέπει να δείξουμε. Στην δεξιά ανισότητα τα φέρνουμε όλα μπροστά οπότε αρκεί να δείξουμε \sin \pi x-4x+4x^2\leq0. Θεωρώντας το τελευταίο ως συνάρτηση του x\in[0,1] και με έναν πίνακα μονοτονίας, πέφτοντας μέχρι τη 2η παραγωγό, βλέπουμε ότι αυτή ισχύει.Το ίδιο και η άλλη ανισότητα.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπερήλικη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Σεπ 28, 2020 11:01 pm

Επειδή ένας φίλος μου έγραψε σε μήνυμα ότι αυτά που λέω παραπάνω δεν στέκουν και η άσκηση

δεν βγαίνει τόσο απλά γράφω μια λύση με σχολικά εργαλεία. Ο λόγος που δεν έβαλα λύση το πρωί

δεν είναι ότι σνόμπαρα την άσκηση ως απλή αλλά ότι δεν είχα δυνατότητα να παρουσιάσω πινακάκια σε Latex.

Θα τα επισυνάψω σε χειρόγραφες εικόνες οπότε ζητώ προκαταβολικά συγνώμη αν βγαίνω εκτός κανονισμών.

Λύση

Πολλαπλασιάζοντας με x-x^2 παίρνουμε την διπλή ανισότητα

\pi x-\pi x^2<\sin \pi x\leq 4x-4x^2. Οπότε έχουμε να αποδείξουμε τις εξής:

\sin \pi x-\pi x+\pi x^2>0 και \sin \pi x-4x+4x^2\leq 0.

Για την πρώτη θεωρώντας τη συνάρτηση f(x)=\sin \pi x-\pi x+\pi x^2,x\in[0,1] έχουμε:

{f}'(x)=\pi \cos \pi x -\pi +2\pi x και {f}''(x)=-\pi^2 \sin \pi x+2 \pi.

Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η {f}'' έχει δύο μόνο ρίζες x_1<1/2<x_2.

Για x=0,x=1/2,x=1 βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της {f}''.

Επίσης έχουμε τις προφανείς ρίζες x=0,1/2,1 της {f}' και τις επίσης προφανείς

x=0,1 ρίζες της f. Συμπληρώνουμε στο πινακάκι τα παραπάνω και το πρόσημο

της {f}'' και τα υπόλοιπα είναι τετριμμένα. Στο πρώτο πινακάκι έχουμε τα συμπεράσματα.

Για τη δεύτερη θεωρώντας τη συνάρτηση f(x)=\sin \pi x-4 x+4 x^2,x\in[0,1] έχουμε:

{f}'(x)=\pi \cos \pi x -4+8 x και {f}''(x)=-\pi^2 \sin \pi x+8.

Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η {f}'' έχει δύο μόνο ρίζες x_1<1/2<x_2.

Για x=0,x=1/2,x=1 βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της {f}''. Η {f}' έχει

προφανή ρίζα το x=1/2 και η f τις x=0,1/2,1. Συμπληρώνουμε τις ρίζες

των {f}'',{f}',f στο πινακάκι και τo πρόσημο της {f}''. Τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.

Στο δεύτερο πινακάκι έχουμε τα αποτελέσματα.
Συνημμένα
1.JPG
1.JPG (89.22 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές
2.JPG
2.JPG (113.39 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης