4 αριθμοί

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

4 αριθμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Σεπ 14, 2020 10:35 pm

Αν \displaystyle a,b,c,d\in (0,1) να δείξετε ότι δεν μπορεί και οι τέσσερις αριθμοί :
\displaystyle 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a), να είναι μεγαλύτεροι του \displaystyle 1


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 4 αριθμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 14, 2020 11:26 pm

exdx έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 10:35 pm
Αν \displaystyle a,b,c,d\in (0,1) να δείξετε ότι δεν μπορεί και οι τέσσερις αριθμοί :
\displaystyle 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a), να είναι μεγαλύτεροι του \displaystyle 1
Επειδή 4a(1-a)= 1-(1-2a)^2 \le 1 και όμοια για b,c,d στην θέση του a, έχουμε με πολλαπλασιασμό ότι

\displaystyle{ [4a(1-b)]\cdot [4b(1-c)] \cdot [4c(1-d] \cdot [4d(1-a)] =  [4a(1-a)]\cdot [4b(1-b)] \cdot [4c(1-c] \cdot [4d(1-d)]\le 1 \cdot 1 \cdot1 \cdot 1 =1}

Άρα δεν μπορεί και οι τέσσερις παράγοντες αριστερά να είναι >1 γιατί τότε και το γινόμενό τους θα ήταν >1, που μόλις είδαμε ότι δεν είναι.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: 4 αριθμοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 15, 2020 12:25 am

Μία πιο χαλαρή λύση - ένεκα φακέλου. Θεωρούμε τα σημεία A(a,b),B(b,c),C(c,d),D(d,a). Αν θέλουμε και οι τέσσερις ζητούμενοι αριθμοί να είναι μεγαλύτεροι του 1 τότε πρέπει όλα να βρίσκονται στο χρωματιστό χωρίο του παρακάτω σχήματος:

https://ibb.co/syp8XRL

Όπου η κόκκινη υπερβολή είναι η 4x(1-y)=1 η οποία έχει εφαπτομένη την y=x στο (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) και βρίσκεται «από κάτω» της.

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι όλα τα σημεία βρίσκονται εντός του χωρίου. Ξεκινάμε τοποθετώντας το Α και στη συνέχεια και τα υπόλοιπα σημεία διαδοχικά, καταλήγουμε στο ότι a<a, που είναι άτοπο - το ποιο σημείο μπαίνει πρώτο δεν έχει σημασία, λόγω της κυκλικότητας.

https://ibb.co/18xXNQT

Δε φόρτωνε τις εικόνες, οπότε τις αφήνω σαν συνδέσμους και στα συνημμένα
Συνημμένα
image.png
image.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
image1.png
image1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 4 επισκέπτες