Εύκολη μοιρασιά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εύκολη μοιρασιά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 10, 2020 8:57 pm

Εύκολη  μοιρασιά.png
Εύκολη μοιρασιά.png (8.3 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , φέραμε το ύψος AD προς την υποτείνουσα BC και ονομάσαμε D'

την προβολή του D στην AB . Αν (ACDD')=(DD'B) , βρείτε την AB , συναρτήσει της b .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύκολη μοιρασιά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 11, 2020 2:39 am

Ευκολη μοιρασιά_μια λύση.png
Ευκολη μοιρασιά_μια λύση.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Αν η κάθετη στο C επί την BC τέμνει την BA στο S θα είναι :

\left( {AD'DC} \right) = \left( {DSD'} \right) = \left( {DCD'} \right). Θέτω : AS = k\,\,,\,\,AD' = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD' = m.

Επειδή k + u = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,u + m = x θα είναι \boxed{k + x = 2m}\,\,\left( 1 \right) Θα ισχύουν ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  {b^2} = kx \hfill \\ 
  \frac{u}{m} = \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{{b^2}}}{{{x^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {b^2} = kx \hfill \\ 
  \frac{{u + m}}{m} = \frac{{{b^2} + {x^2}}}{{{x^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {b^2} = kx \hfill \\ 
  \frac{{2x}}{{k + x}} = \frac{{kx + {x^2}}}{{{x^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Άρα : \displaystyle {\left( {k + x} \right)^2} = 2{x^2} \Rightarrow k + x = x\sqrt 2  \Rightarrow kx + {x^2} = {x^2}\sqrt 2 και επομένως

{b^2} = {x^2}\left( {\sqrt 2  - 1} \right) \Rightarrow b = x\left( {\sqrt {\sqrt 2  - 1} } \right) \Rightarrow \boxed{x = b\sqrt {\sqrt 2  + 1} }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύκολη μοιρασιά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 11, 2020 9:23 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 10, 2020 8:57 pm
Εύκολη μοιρασιά.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , φέραμε το ύψος AD προς την υποτείνουσα BC και ονομάσαμε D'

την προβολή του D στην AB . Αν (ACDD')=(DD'B) , βρείτε την AB , συναρτήσει της b .
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:
Εύκολη μοιρασιά.png
Εύκολη μοιρασιά.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{y}{b} = \dfrac{x}{c}\\ 
\\ 
bc = 2xy 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{b = y\sqrt 2} και \boxed{c = x\sqrt 2}

Αλλά, \displaystyle {y^2} = (c - x)x \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{2} = \left( {c - \frac{c}{{\sqrt 2 }}} \right)\frac{c}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\left( {\sqrt 2  - 1} \right) \Leftrightarrow \boxed{c = b\sqrt {\sqrt 2  + 1} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης