Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1284
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 28, 2020 11:47 pm

Χαιρετώ! Ό,τι ακολουθεί είναι -προφανώς- μακρυά από την ιστορική αλήθεια.

Πριν αρκετούς .. αιώνες ο Εύδοξος βρέθηκε αντιμέτωπος με το εξής πρόβλημα:

Για τις πλευρές (a,b,c) τριγώνου ABC ισχύουν οι σχέσεις: abc=480

\left ( ab \right )^{2}+\left ( ac \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}=12.304 και

a^{4}+b^{4}+c^{4}=15.392

Ζητείται η ακτίνα R του περιγεγραμμένου του κύκλου.


Η κόρη του η Δελφίς, βλέποντας τον έτοιμο να παραιτηθεί , το μελέτησε αυτή και λίγο αργότερα του δήλωσε πασιχαρής:

<< Με λίγες πράξεις βρήκα την ακτίνα.. είναι μάλιστα ακέραιος αριθμός!>>

Πώς άραγε να τα κατάφερε η Δελφίς , χωρίς βεβαίως (το δικό μας) κομπιουτεράκι;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 29, 2020 12:18 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 28, 2020 11:47 pm

Για τις πλευρές (a,b,c) τριγώνου ABC ισχύουν οι σχέσεις: abc=480

\left ( ab \right )^{2}+\left ( ac \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}=12.304 και

a^{4}+b^{4}+c^{4}=15.392

Ζητείται η ακτίνα R του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Από τον τύπο του Ήρωνα σε ισοδύναμη μορφή βρίσκουμε το

\displaystyle{E=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}} και τώρα από το E= \dfrac {abc}{4R} βρίσκουμε το R.

Οι πράξεις άμεσες, αλλά τις αφήνω. Δεν είναι τόσο πολλές αν βγάλουμε κοινούς παράγοντες στα δεδομένα νούμερα: Π.χ. το 2^4 είναι κοινός παράγοντας στα 12394,\, 15392. Με το μάτι (και με οδηγό το γεγονός ότι η Δελφίς ισχυρίζεται ότι η απάντηση είναι ακέραιος) το R βγαίνει μονοψήφιος περιττός αριθμός.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 29, 2020 5:46 pm

Κάνω τις πράξεις που δεν έκανα χθες βράδυ:

Είναι  12304 = 2\times 6152 = 2^2\times 3076 = 2^3\times 1538=2^4\times 769 και

15392 = 2\times 7696 = 2^2\times 3848 = 2^3\times 1924=2^4\times 962 =2^5\times 481. Άρα

\displaystyle{E=\frac{1}{4}\sqrt{2^5\times 769-2^5\times 481}}=\sqrt{2( 769- 481)}=  \sqrt{2\times 288}= \sqrt {4\times 144} = 2\times 12 = 24

Άρα \displaystyle{ 24 =  \dfrac {abc}{4R}=  \dfrac {480}{4R}= \dfrac {120}{R}}, οπότε R=5.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 29, 2020 7:39 pm

Πώς και δεν κατάλαβε ο Εύδοξος ότι μιλάμε για το τρίγωνο 6-8-10; :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1284
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση ακτίνας, κόβοντας..δρόμο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιούλ 31, 2020 9:10 am

Καλημέρα! Ακόμη ένα ευχαριστώ στον κ. Μιχάλη για την άμεση λύση
και βεβαίως για τον διδακτικό τρόπο υπολογισμών χωρίς το κομπιουτεράκι!

Αν θέσουμε abc=p... \left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ac \right )^{2}=m και a^{4}+b^{4}+c^{4}=n από τους ως άνω τύπους παίρνουμε R=\dfrac{p}{\sqrt{2m-n}}. Με δομένα τα p,m,n υπολογίζουμε προφανώς την ακτίνα R.

Πράγματι Γιώργο, για την δημιουργία του θέματος θεώρησα το γνωστό (ορθογώνιο) τρίγωνο με πλευρές 6,8,10 .

Υπολόγισα τα m=12304 και n=15392 που έδωσαν και με τον ως άνω τύπο του Ήρωνα το αναμενόμενο εμβαδόν E=\dfrac{8 \cdot 6}{2}=24 ,
αλλά και την ακτίνα όπου ο τύπος έδωσε το εξ' αρχής γνωστό R=\dfrac{10}{2}=5.

Αν βεβαίως μιλάμε για τον Εύδοξο από την Κνίδο τότε .. :) .. ο ψόγος περί παραίτησης απο μαθηματικό πρόβλημα
ασφαλώς και δεν τον αγγίζει!

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες