Μαστορέματα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Μαστορέματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Ιουν 25, 2020 10:15 am

Μια ομάδα που αποτελείται από έναν τοπογράφο και μερικά μαστόρια, θέλουν να χωρίσουν το οικόπεδο Ω σε δύο οικόπεδα με ίδιο εμβαδόν, τοποθετώντας κατακόρυφα μια μεγάλη τριχιά.
μαστορέματα.png
μαστορέματα.png (128.74 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές
Ο τοπογράφος δείχνει στα μαστόρια το σχέδιο και τους τονίζει ότι η μία πλευρά του οικοπέδου βρίσκεται πάνω στην f(x) =\frac{1}{x} . Ξαφνικά, χτυπάει το τηλέφωνό του και φεύγει βιαστικά, αφήνοντας τα μαστόρια μόνα τους με μια μεγάλη τριχιά.
Μπορούν άραγε να κάνουν τη δουλειά;


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μαστορέματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 25, 2020 1:52 pm

γεωμετρικός μέσος.png
γεωμετρικός μέσος.png (36.17 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές


4ptil
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Μαστορέματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Πέμ Ιουν 25, 2020 3:48 pm

Η f(x)=\frac{1}{x} είναι συνεχής στο\mathbb(-\propto ,0)\cup (0,\propto ) οπότε νομίζω ότι απλά την θεωρούμε συνεχή αφού το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της(διορθώστε με αν είναι λάθος), άρα έστω a,b> 0 ,a<b
τα σημεία του κτιρίου που τέμνουν τον άξονα x έχω
\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}(f'(a)-f'(b))=\frac{\ln(|a|-\ln(|b|))}{2}
Έστω c το σημείο που θα βάλουν το σκοινί έχω:\int_{a}^{c}\frac{1}{x}dx=\frac{\ln(|a|-\ln(|b|))}{2}\Leftrightarrow \ln(|a|)-\ln(|c|)=\frac{\ln(|a|)-\ln(|b|))}{2} \Leftrightarrow \ln(|c|)=\frac{\ln(|a|)+\ln(|b|)}{2}\Leftrightarrow e^{\ln(|c|)}=e^{\frac{\ln(|a|)+\ln(|b|)}{2}}\Leftrightarrow |c|=e^{\frac{1}{2}\ln(|a|)}(e^{\frac{1}{2}\ln(|b|)})\Leftrightarrow |c|=\sqrt{|a|}\sqrt{|b|}\Leftrightarrow c=\sqrt{ab} αφού a,b> 0 και a< c< b


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μαστορέματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Ιουν 25, 2020 4:13 pm

Σωστά πολύ σωστά.
Απλώς ο λύτης διαθέτει μόνο μία τριχιά.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3992
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαστορέματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Ιουν 25, 2020 7:56 pm

Προφανώς το ζητούμενο ανάγεται στον προσδιορισμό του \sqrt{ab} με τη χρήση τριχιάς η οποία ταυτόχρονα μπορεί να παίξει και το ρόλο του διαβήτη. Φαντάζομαι ότι αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, τον κλασσικότερο από τους οποίους παρουσιάζω παρακάτω.

Λοιπόν αρχικά θεωρούμε τα σημεία O(0,0), A(a,0), B(b,0) και προσδιορίζουμε το σημείο C(a+b,0) προεκτείνοντας κατά μήκος OA=a την OB προς το B. Μετά κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετη, και κατ' επέκταση το μέσο M, του OC χρησιμοποιώντας την τριχιά ως διαβήτη χαράσσοντας κύκλους με κέντρα τα O και C κατά τα γνωστά. Έτσι κατασκευάζουμε το ημικύκλιο με διάμετρο το OC το οποίο τέμνει την C_f στο σημείο K. Από το ορθογώνιο τρίγωνο OKC είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι AK=\sqrt{ab} κι έτσι μετρώντας με την τριχιά το μήκος AK βρίσκουμε σημείο X επί της OC έτσι ώστε OX=AK. Πάλι με τη χρήση της τριχιάς ως διαβήτη βρίσκουμε την κάθετη X\delta στην OC στο σημείο X και η ημιευθεία X\delta είναι η ζητούμενη που χωρίζει το χωρίο \Omega σε 2 ισεμβαδικά χωρία.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες