quickie

Λάμπρος Μπαλός · #1

Μπορεί να είναι άστοχη η επιλογή φακέλου. Επίσης ο τίτλος ας μην είναι δεσμευτικός.

Αν cosa=-a>0

, να αποδείξετε ότι $\int_{a} ^{0} e^{cosx} dx > e-1$ .

Καλό καλοκαίρι.

Σημείωσα το πρόσημο του

.

#2

Η $f(x)=x+\cos x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb R$ με σύνολο τιμών το $\mathbb R$ . Υπάρχει μοναδικός

ώστε

και μάλιστα -1<a<0

αφού $f(-1)=-1+\cos(-1)<0$ και f(0)=1>0.

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο συμπεράσματα από την άσκηση 3, σελ. 151 του σχολικού βιβλίου:
Για x>0

ισχύει ότι $\cos x>1-\dfrac{x^2}{2}$ και $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}.$

Είναι $0=f(a)=a+\cos a>a+1-\dfrac{a^2}{2}$ οπότε a^2-2a-2>0.

Ο

είναι αρνητικός, οπότε λύνοντας την ανίσωση βρίσκουμε $a<1-\sqrt 3.$ Άρα $-a>\sqrt3-1>0.732$
Επίσης
$e^{\cos a}=e^{-a}>1-a+\dfrac{a^2}{2}>1+0.73+\dfrac{0.73^2}{2}>1,99$

Η $g(x)=e^{\cos x}$ είναι κοίλη στο διάστημα [a,0]

αφού $g''(x)=-(\cos^2 x+\cos x-1)e^{\cos x}=-(\cos x+\dfrac{1+\sqrt 5}{2})(\cos x-\dfrac{\sqrt {5}-1 }{2})<0$ διότι $\cos x\geq \cos a=-a>0.73>\dfrac{\sqrt {5}-1 }{2}$

Άρα $\boxed{\int_{a}^{0} g(x)dx>\dfrac{(g(a)+g(0))(-a)}{2}}$ (1)

H (1) δίνει $\int_{a}^{0}e^{\cos x}dx>\dfrac{(e^{\cos a}+e)(-a)}{2}>\dfrac{(1.99+2.71)0.732}{2}=1.7202>e-1$

Λάμπρος Μπαλός · #3

Τέλεια, ευχαριστώ πολύ.
Θα βάλω αργότερα και τη δική μου.

Λοιπόν,

$\int_{a} ^{0} e^{cosx} dx= \int_{a} ^{0} e^{cosx+x} \cdot e^{-x} dx >$

$\int_{a} ^{0} e^{cosx+x} \cdot (-x+1) dx >$

$\int_{a} ^{0} e^{cosx+x} \cdot (-sinx+1) dx=$

$[e^{cosx+x}] _{a} ^{0}=e-1$ .

quickie

quickie

Re: quickie

Re: quickie

Μέλη σε σύνδεση