Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 27, 2020 10:07 am

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{1+\sin x}{(n+1)+ncosx} , n \in \mathbb{N^*}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9373
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 27, 2020 12:49 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 27, 2020 10:07 am
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{1+\sin x}{(n+1)+ncosx} , n \in \mathbb{N^*}
Η f είναι περιοδική με περίοδο \displaystyle 2\pi . Θα εξετάσουμε λοιπόν τα ακρότατα στο διάστημα [0, 2\pi].

\displaystyle f'(x) = \frac{{(n + 1)\cos x + n\sin x + n}}{{{{(n + 1 + n\cos x)}^2}}}. Μία ρίζα της είναι \displaystyle x_1 = \frac{{3\pi }}{2} εκεί όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με μηδέν.

Θα εξετάσουμε πού αλλού μηδενίζεται η παράγωγος. Βρήκα (πώς;) ότι μηδενίζεται όταν

\displaystyle \cos x =  - \frac{{2{n^2} + 2n}}{{2{n^2} + 2n + 1}},\sin x = \frac{{2n + 1}}{{2{n^2} + 2n + 1}}. Τότε έχουμε \boxed{ {f_{\max }} =\frac{{2n + 2}}{{2n + 1}}}


Υπάρχουν πολλά κενά στη λύση, αλλά λόγω φακέλου παρακάμπτονται :lol:


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 27, 2020 2:52 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 27, 2020 10:07 am
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{1+\sin x}{(n+1)+ncosx} , n \in \mathbb{N^*}
Αλγεβρικά. Καταρχάς η συνάρτηση είναι άνω φραγμένη από το 2 αφού ο αριθμητής είναι \leq 2 και ο παρονομαστής

\geq1. Θα βρούμε τον μέγιστο k για τον οποίο υπάρχει x ώστε

f(x)=k\Leftrightarrow \sin x-kn \cos x = k(n+1)-1\Leftrightarrow \sqrt{1+k^2n^2}\sin (x+\varphi )=k(n+1)-1

\Leftrightarrow \sin (x+\varphi )=\dfrac{k(n+1)-1}{\sqrt{1+k^2n^2}}, όπου \varphi κατάλληλη γωνία.

Είναι φανερό τώρα ότι \dfrac{k(n+1)-1}{\sqrt{1+k^2n^2}}=1\Leftrightarrow k=\dfrac{2n+2}{2n+1}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 27, 2020 8:09 pm

Αφού ευχαριστήσω τους δύο φίλους , προτείνω την παρακάτω - συνοπτική - προσέγγιση :

Χρησιμοποιώ το : t=\tan\dfrac{x}{2} και προκύπτει η : \dfrac{(1+t)^2}{(2n+1)+t^2}\leq \dfrac{2n+2}{2n+1} ,

η οποία είναι ισοδύναμη με την : (t-(2n+1))^2\geq 0 , η οποία ισχύει ,

με την ισότητα να πιάνεται για γωνία x , για την οποία : \tan\dfrac{x}{2}=2n+1 .

Ουσιαστικά είναι άσκηση του Σχολικού βιβλίου της Β' Λυκείου ( Γενικές στην Τριγωνομετρία ) !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες