Η μοιρασιά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η μοιρασιά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 07, 2020 7:32 pm

Ο Βλάσης και ο Μηνάς, μαθητές της Α' λυκείου, διαβάζουν μαζί το παρακάτω πρόβλημα:

Ένας πατέρας μοίρασε την περιουσία του ως εξής: Το πρώτο παιδί πήρε a ευρώ και το \dfrac{1}{n}, (n\in \mathbb{N}, n\ge 2) του υπολοίπου. Το δεύτερο παιδί πήρε 2a ευρώ και το \dfrac{1}{n} του νέου υπολοίπου. Το τρίτο παιδί πήρε 3a ευρώ και το \dfrac{1}{n} του νέου υπολοίπου, κ.ο.κ. Αν a=1600 και όλα τα μερίδια ήταν ίσα, να βρεθεί η περιουσία του πατέρα και το κάθε μερίδιο.

Ο Βλάσης ισχυρίζεται ότι όσο λιγότερα είναι τα αδέλφια, τόσο μεγαλύτερο θα είναι και το μερίδιο του καθενός. Από την άλλη μεριά, ο Μηνάς ισχυρίζεται ότι η περιουσία του πατέρα είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Είναι σωστοί οι ισχυρισμοί των δύο συμμαθητών;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1893
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Η μοιρασιά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Μάιος 30, 2020 8:05 pm

Λοιπόν, Γιώργο τα βρίσκω συναρτήσει του n:

Τα μερίδια είναι στο πλήθος n-1

Το κάθε μερίδιο είναι (n-1)a

Η περιουσία του πατέρα είναι (n-1)^2a

Είναι έτσι;

(Έχω την αίσθηση ότι η ισότητα των μεριδίων προκύπτει από τα υπόλοιπα δεδομένα)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η μοιρασιά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 31, 2020 11:15 am

Έτσι ακριβώς είναι Κώστα!
Προφανώς ο ισχυρισμός του Βλάση είναι λάθος, ενώ του Μηνά σωστός.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1893
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Η μοιρασιά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιουν 02, 2020 10:43 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 7:32 pm
Ο Βλάσης και ο Μηνάς, μαθητές της Α' λυκείου, διαβάζουν μαζί το παρακάτω πρόβλημα:

Ένας πατέρας μοίρασε την περιουσία του ως εξής: Το πρώτο παιδί πήρε a ευρώ και το \dfrac{1}{n}, (n\in \mathbb{N}, n\ge 2) του υπολοίπου. Το δεύτερο παιδί πήρε 2a ευρώ και το \dfrac{1}{n} του νέου υπολοίπου. Το τρίτο παιδί πήρε 3a ευρώ και το \dfrac{1}{n} του νέου υπολοίπου, κ.ο.κ. Αν a=1600 και όλα τα μερίδια ήταν ίσα, να βρεθεί η περιουσία του πατέρα και το κάθε μερίδιο.

Ο Βλάσης ισχυρίζεται ότι όσο λιγότερα είναι τα αδέλφια, τόσο μεγαλύτερο θα είναι και το μερίδιο του καθενός. Από την άλλη μεριά, ο Μηνάς ισχυρίζεται ότι η περιουσία του πατέρα είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Είναι σωστοί οι ισχυρισμοί των δύο συμμαθητών;
Aς είναι χ η περιουσία του πατέρα, k τα παιδιά και x_k τα μερίδια τους. Είναι

x_{k+1}=(k+1)a+\dfrac{1}{n}(x-x_1-x_2-...-x_k-(k+1)a) οπότε

x_{k+1}-x_k=a+\dfrac{1}{n}(-x_k-a)

Επειδή x_{k+1}=x_k παίρνουμε x_k=(n-1)a και

x_1=a+\frac{1}{n}(x-a)\Rightarrow (n-1)a=a+\frac{1}{n}(x-a)\Rightarrow x=(n-1)^2a

Προφανώς ο ισχυρισμός του Μηνά σωστός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες