Κυκλώσαμε το τετράγωνο;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κυκλώσαμε το τετράγωνο;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 02, 2020 7:17 pm

ΦΠ.png
ΦΠ.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς \displaystyle a = \sqrt {\frac{6}{5}} και κέντρου O. Έστω M το μέσο της πλευράς AD και

N σημείο του τμήματος AM ώστε \displaystyle \frac{{MN}}{{NA}} = a. Γράφω τον κύκλο με κέντρο O και ακτίνα R=ON.

Λέμε ότι "ο κύκλος με ακτίνα  R κυκλώνει το τετράγωνο πλευράς a", αν \displaystyle |{a^2} - \pi {R^2}| < 0,00002

α) Να συγκρίνετε την ακτίνα R με τον αριθμό \displaystyle \frac{1}{\Phi }, όπου \displaystyle \Phi  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}.

β) Τι λέτε, οι κύκλοι με ακτίνες  R και \dfrac{1}{\Phi } κυκλώνουν το τετράγωνο ABCD;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κυκλώσαμε το τετράγωνο;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 05, 2020 12:44 am

Καλημέρα!
Κυκλώσαμε το τετράγωνο.PNG
Κυκλώσαμε το τετράγωνο.PNG (15.59 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Θεωρούμε το τετράγωνο ABCD με πλευρά a=\sqrt{6/5}.Έχουμε OM=AM=a/2=\sqrt{0,3}.

Για να εντοπίσουμε το N με τη βοήθεια της κατασκευής δεξιά παίρνουμε \dfrac{MN}{NA}=\dfrac{k}{m}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}.

Προκύπτει \dfrac{MN}{MA}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} \Rightarrow MN=\dfrac{\sqrt{1,8}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}

Με το Πυθαγόρειο στο ορθ. τρίγωνο MON παίρνουμε ON^{2}=20,1-3,6\sqrt{30} οπότε ON > 0,61805> \dfrac{1}{\Phi }

Βρίσκουμε με υπομονετική ..πληκτρολόγηση ότι a^{2}-\dfrac{\pi }{\Phi ^{2}}\simeq 1,83\cdot 10^{-5}< 2\cdot 10^{-5}
άρα ο κύκλος με ακτίνα \dfrac{1}{\Phi } κυκλώνει το τετράγωνο .

Ακόμη \pi ON^{2}-a^{2}  \simeq 5,04\cdot 10^{-5} > 2\cdot 10^{-5} συνεπώς ο κύκλος με ακτίνα R=ON δεν κυκλώνει το τετράγωνο.

Μου άρεσε Γιώργο ο ''ορισμός'' για το αν ..κυκλώνει το τετράγωνο... Ας συμπληρώσω το εξής:

Η διαφορά εμβαδών της τάξης του 10^{-5} είναι εντυπωσιακή για a=\sqrt{6/5} , εξαιρετικώς απίθανη αν είχαμε a=10^{2}
ενώ είναι λιγότερο ικανοποιητική αν a=10^{-2}. Θα ήθελα λοιπόν να προτείνω (*)ένα ακόμη <<ορισμό>>:

Λέμε βαθμό προσέγγισης (με βάση b>1) τετραγώνου με πλευρά a και κύκλου με ακτίνα R τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό n

για τον οποίο ισχύει
b^{n}\cdot \left | a^{2}-\pi R^{2} \right |< a^{2} .

Μπορούμε να βάλουμε b=10 ή όποιον προτιμάμε από τους γνωστούς \pi ,\Phi ,e κ.α. Όσο μεγαλύτερο το n , για σταθερό b>1 τόσο πιο κοντά τα δύο εμβαδά.

(*) Επιθυμητός ο έλεγχος για την ..λογική του ως άνω ορισμού.

Φιλικά, Γιώργος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κυκλώσαμε το τετράγωνο;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 07, 2020 5:12 pm

Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την εμπεριστατωμένη λύση του παρόντος. Δεν σου κρύβω ότι αυτή η

άσκηση κατασκευάστηκε με αποδέκτη εσένα, γνωρίζοντας πόσο σε ελκύει ο αριθμός \Phi αλλά και ο \pi.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες