Σχεδόν προφανές

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σχεδόν προφανές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 30, 2020 7:29 pm

Δείξτε ότι το πολυώνυμο : P(x)=5x^4-2x^3-2x^2-30x+34 , δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

Επιτρέπονται σχόλια της μορφής : " Γιατί , μήπως παίρνει την τιμή 1 ; "



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχεδόν προφανές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 01, 2020 9:06 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 30, 2020 7:29 pm
Δείξτε ότι το πολυώνυμο : P(x)=5x^4-2x^3-2x^2-30x+34 , δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

Επιτρέπονται σχόλια της μορφής : " Γιατί , μήπως παίρνει την τιμή 1 ; "
Προφανές.Κ.png
Προφανές.Κ.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Η παράγωγος \displaystyle P'(x) = 2(10{x^3} - 3{x^2} - 2x - 15) της συνάρτησης P έχει μία πραγματική ρίζα

\displaystyle {x_0} = \frac{1}{{30}}\left( {3 + \sqrt[3]{{20547 - 30\sqrt {468723} }} + \sqrt[3]{{20547 + 30\sqrt {468723} }}} \right) \simeq 1,3169 και είναι

\displaystyle P''({x_0}) \simeq 84,25 > 0, άρα το πολυώνυμο P(x) παίρνει για x=x_0 ελάχιστη τιμή \boxed{P({x_0}) \simeq 1,4946 > 0}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σχεδόν προφανές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Μάιος 01, 2020 11:10 am

Καλημέρα σε όλους και Καλή Πρωτομαγιά !

Μια προσπάθεια δίχως παραγώγους.

Αν x \le 0, τότε P(x) > 0. (Εύκολο).

Για 0<x\le 1 είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
 - 2{x^2} \ge  - 2\\ 
 - 2{x^3} \ge  - 2\\ 
 - 30x \ge  - 30 
\end{array} \right. οπότε P(x) > 0.

Για x > 1:

Παρατηρώ ότι  \displaystyle {x^4} - 2{x^3} + \frac{{27}}{{16}} \ge 0 άρα  \displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 2 > 0
Επίσης είναι

 \displaystyle 3{x^4} - 30x + 31 = 3{x^4} + 12{x^2} - 12{x^2} - 30x + 31

 \displaystyle  = 3\left( {{x^4} - 4{x^2} + 4} \right) + 12{x^2} - 30x + 18 + 1

 \displaystyle  = 3{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 6\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) + 1 > 0,

αφού  \displaystyle 2{x^2} - 5x + 3 \ge  - \frac{1}{8} \Leftrightarrow 6\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) + 1 \ge 1 - \frac{6}{8} > 0 .

άρα είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^4} - 2{x^2} + 1 > 0\\ 
{x^4} - 2{x^3} + 2 > 0\\ 
3{x^4} - 30x + 31 > 0 
\end{array} \right. οπότε P(x) > 0.

edit 14:30

Διόρθωσα ένα "ίσον" σε \ge στην ανισότητα  \displaystyle {x^4} - 2{x^3} + \frac{{27}}{{16}} \ge 0.

Κι επιπλέον δίνω μια εξήγηση πώς κατέληξα σ' αυτήν την ανισότητα.

Δεν φαίνεται «εύκολα», δίχως παραγώγους ή λογισμικό, το ελάχιστο της παράστασης x^4-2x^3.

Mε δοκιμές παρατηρώ ότι για t = 3 είναι  \displaystyle {t^4} - 4{t^3} = 27 .

Πράγματι,  \displaystyle {t^4} - 4{t^3} + 27 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2}\left( {{t^2} + 2t + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3 .
Άρα  \displaystyle {t^4} - 4{t^3} + 27 \ge 0 με το ίσον όταν t=3

Θέτω t = 2x, x > 1 κι έχω  \displaystyle {\left( {2x} \right)^4} - 4{\left( {2x} \right)^3} + 27 \ge 0 \Leftrightarrow 16{x^4} - 32{x^3} + 27 \ge 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + \frac{{27}}{{16}} \ge 0 με το ίσον όταν  \displaystyle x = \frac{3}{2} .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχεδόν προφανές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 01, 2020 11:17 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 11:10 am
Καλημέρα σε όλους και Καλή Πρωτομαγιά !

Μια προσπάθεια δίχως παραγώγους.

Αν x \le 0, τότε P(x) > 0. (Εύκολο).

Για 0<x\le 1 είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
 - 2{x^2} \ge  - 2\\ 
 - 2{x^3} \ge  - 2\\ 
 - 30x \ge  - 30 
\end{array} \right. οπότε P(x) > 0.

Για x > 1:

Παρατηρώ ότι  \displaystyle {x^4} - 2{x^3} + \frac{{27}}{{16}} = 0 άρα  \displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 2 > 0
Επίσης είναι

 \displaystyle 3{x^4} - 30x + 31 = 3{x^4} + 12{x^2} - 12{x^2} - 30x + 31

 \displaystyle  = 3\left( {{x^4} - 4{x^2} + 4} \right) + 12{x^2} - 30x + 18 + 1

 \displaystyle  = 3{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 6\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) + 1 > 0,

αφού  \displaystyle 2{x^2} - 5x + 3 \ge  - \frac{1}{8} \Leftrightarrow 6\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) + 1 \ge 1 - \frac{6}{8} > 0 .

άρα είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^4} - 2{x^2} + 1 > 0\\ 
{x^4} - 2{x^3} + 2 > 0\\ 
3{x^4} - 30x + 31 > 0 
\end{array} \right. οπότε P(x) > 0.
Καλό! :coolspeak:

(Κάτι παρόμοιο προσπάθησα, αλλά δεν τα κατάφερα κι έπεσα στα "σκληρά" :roll: )


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12207
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σχεδόν προφανές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 01, 2020 12:13 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 30, 2020 7:29 pm
Δείξτε ότι το πολυώνυμο : P(x)=5x^4-2x^3-2x^2-30x+34 , δεν παίρνει αρνητικές τιμές .
Για x\le 0 εύκολο αλλά ας το δούμε: P(x)= (x^2-1)^2 +4x^4-x(2x^2+30)+33 = (+)+(+)+(+)+(+) >0.

Για 0<x <1 έχουμε P(x)=5x^4-2x^3-2x^2-30x+34 > 5x^4-2-2-30-34=5x^4>0 ,

Για x\ge 1 κάνουμε τον μετασχηματισμό x=t+1, οπότε t\ge 0 και P(x)=5t^4+18t^3+22t^2-20t+5 >0 αφού οι δύο πρώτοι όροι είναι θετικοί και οι τρεις τελευταίοι είναι τριώνυμο με \Delta <0 ή, αλλιώς

P(x)= 5t^4+18t^3+2t^2 +5(4t^2-4t+1) = 5t^4+18t^3+2t^2 +5(2t-1)^2>0


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σχεδόν προφανές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 03, 2020 8:09 pm

5x^4-2x^3-2x^2-30x+34=(2x^2-3)^2+(x^2-x)^2+(3x-5)^2 >0 .

Εγώ σας τα έλεγα : Είναι σχεδόν προφανές :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης