Πολλαπλό άθροισμα!
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πολλαπλό άθροισμα!
Με αφορμή ένα πρόβλημα που ανέβηκε εδώ πριν λίγο καιρό...
Να εκφράσετε με ''κομψό'' τρόπο το άθροισμα
Επαναφορά.
Να εκφράσετε με ''κομψό'' τρόπο το άθροισμα
Επαναφορά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πολλαπλό άθροισμα!
Θα το λύσουμε με χρήση συνδυαστικής. Θεωρούμε μαύρες όμοιες μπάλες και όμοιες κόκκινες.
Θέλουμε να τις τοποθετήσουμε στη σειρά. Έχουμε συνολικά τρόπους τοποθέτησης,
όπως το να επιλέξουμε από τις συνολικά θέσεις και να βάλουμε τις μαύρες (ή τις κόκκινες).
Οι υπόλοιπες τότε έχουν έναν μόνο τρόπο τοποθέτησης. Μπορούμε όμως να μετρήσουμε και αλλιώς τους τρόπους.
Για μια οποιαδήποτε τοποθέτηση των μαύρων στις θέσεις έχουμε έναν μόνο
τρόπο για να τοποθετήσουμε τις κόκκινες. Άρα για να βρούμε το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να
τοποθετήσουμε τις μαύρες και τις κόκκινες αρκεί να αθροίσουμε μονάδες για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς
των με δηλαδή
Όμως το πλήθος των διατεταγμένων άδων,
όπου , ισούται με το πλήθος των διατεταγμένων άδων,
όπου
έχουμε αντιστοιχία) και επομένως
Το πρόβλημα προέκυψε από μία άσκηση του socrates σε κάποιο διαγώνισμα το οποίο, τώρα, δεν μπορώ να το βρω.
Αν το βρει ο socrates ας το βάλει. Θα του είμαι υπόχρεος.
Θέλουμε να τις τοποθετήσουμε στη σειρά. Έχουμε συνολικά τρόπους τοποθέτησης,
όπως το να επιλέξουμε από τις συνολικά θέσεις και να βάλουμε τις μαύρες (ή τις κόκκινες).
Οι υπόλοιπες τότε έχουν έναν μόνο τρόπο τοποθέτησης. Μπορούμε όμως να μετρήσουμε και αλλιώς τους τρόπους.
Για μια οποιαδήποτε τοποθέτηση των μαύρων στις θέσεις έχουμε έναν μόνο
τρόπο για να τοποθετήσουμε τις κόκκινες. Άρα για να βρούμε το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να
τοποθετήσουμε τις μαύρες και τις κόκκινες αρκεί να αθροίσουμε μονάδες για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς
των με δηλαδή
Όμως το πλήθος των διατεταγμένων άδων,
όπου , ισούται με το πλήθος των διατεταγμένων άδων,
όπου
έχουμε αντιστοιχία) και επομένως
Το πρόβλημα προέκυψε από μία άσκηση του socrates σε κάποιο διαγώνισμα το οποίο, τώρα, δεν μπορώ να το βρω.
Αν το βρει ο socrates ας το βάλει. Θα του είμαι υπόχρεος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 4 επισκέπτες