Πολλαπλό άθροισμα!

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Με αφορμή ένα πρόβλημα που ανέβηκε εδώ πριν λίγο καιρό...

Να εκφράσετε με ''κομψό'' τρόπο το άθροισμα $\displaystyle \sum_{i_1=1}^{n+1}\sum_{i_2=i_1}^{n+1}\sum_{i_3=i_2}^{n+1}...\sum_{i_n=i_{n-1}}^{n+1}1.$

Επαναφορά.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Θα το λύσουμε με χρήση συνδυαστικής. Θεωρούμε

μαύρες όμοιες μπάλες και

όμοιες κόκκινες.

Θέλουμε να τις τοποθετήσουμε στη σειρά. Έχουμε συνολικά $\displaystyle\binom{2n}{n}$ τρόπους τοποθέτησης,

όπως το να επιλέξουμε

από τις

συνολικά θέσεις και να βάλουμε τις μαύρες (ή τις κόκκινες).

Οι υπόλοιπες τότε έχουν έναν μόνο τρόπο τοποθέτησης. Μπορούμε όμως να μετρήσουμε και αλλιώς τους τρόπους.

Για μια οποιαδήποτε τοποθέτηση των μαύρων στις θέσεις $1\leq i_1<i_2<...<i_n\leq 2n$ έχουμε έναν μόνο

τρόπο για να τοποθετήσουμε τις κόκκινες. Άρα για να βρούμε το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να

τοποθετήσουμε τις μαύρες και τις κόκκινες αρκεί να αθροίσουμε μονάδες για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς

των i_1,i_2,...,i_n

με $1\leq i_1<i_2<...<i_n\leq 2n,$ δηλαδή

$\displaystyle \binom{2n}{n}=\sum_{i_1=1}^{n+1}\sum_{i_2=i_1+1}^{n+2} ...\sum_{i_n=i_{n-1}+1}^{2n}1.$

Όμως το πλήθος των διατεταγμένων

άδων, $\left ( i_1,i_2,...,i_n \right )$

όπου $1\leq i_1<i_2<...<i_n\leq 2n$ , ισούται με το πλήθος των διατεταγμένων

άδων,

$\left ( i_1,i_2,...,i_n \right )$ όπου $1\leq i_1\leq i_2\leq...\leq i_n\leq n+1$

έχουμε 1-1

αντιστοιχία) και επομένως

$\displaystyle \binom{2n}{n}=\sum_{i_1=1}^{n+1}\sum_{i_2=i_1+1}^{n+2} ...\sum_{i_n=i_{n-1}+1}^{2n}1 =\sum_{i_1=1}^{n+1}\sum_{i_2=i_1}^{n+1} ...\sum_{i_n=i_{n-1}}^{n+1}1.$
Το πρόβλημα προέκυψε από μία άσκηση του socrates σε κάποιο διαγώνισμα το οποίο, τώρα, δεν μπορώ να το βρω.

Αν το βρει ο socrates ας το βάλει. Θα του είμαι υπόχρεος.

Πολλαπλό άθροισμα!

Πολλαπλό άθροισμα!

Re: Πολλαπλό άθροισμα!

Re: Πολλαπλό άθροισμα!

Μέλη σε σύνδεση