Λογαριθμική Ανισότητα
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Λογαριθμική Ανισότητα
Να βρείτε την μικρότερη τιμή της σταθεράς για την οποία ισχύει η ανισότητα
με
με
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Λογαριθμική Ανισότητα
Θανάση, κάτι δεν μου πάει καλά. Η απάντηση είναι μεν σωστή αλλά νομίζω ότι η μέθοδος είναι εσφαλμένη.
Π.χ. ισχύει για κάθε , πλην όμως η παράγωγος παίρνει και αρνητικές τιμές.
Άλλο παράδειγμα, η για έχει παντού αρνητική παράγωγο αλλά είναι θετική σε όλο το .
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμική Ανισότητα
Προφανής λύση η
Κατόπιν , με το νόμιμο εργαλείο Geogebra ( είναι ελεύθερο λογισμικό )
βρίσκουμε κατα προσέγγιση άλλη μια λύση που φαίνεται στο σχήμα Φυσικά , η ύπαρξη της δεύτερης ρίζας μπορεί να διαπιστωθεί με τη μελέτη της
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Λογαριθμική Ανισότητα
Δίνω πλήρη λύση.
Έχουμε . Άρα για και για οποιοδήποτε ο αριθμητής είναι (γνήσια) θετικός ως άθροισμα θετικών. Άρα για δοθέν η συνάρτηση γνήσια αύξουσα, οπότε . Με άλλα λόγια για η συνάρτηση είναι σίγουρα θετική. Θα δούμε ότι για οποιοδήποτε δοθέν , υπάρχει με . Πράγματι για ένα τέτοιo kai gia όλα τα είναι , οπότε . Δηλαδή στο διάστημα η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα και άρα .
Συμπέρασμα: Ισχύει για κάθε αν και μόνον αν . Από το τελευταίο διαβάζουμε την ελάχιστη τιμή του .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες