e^x- ίσωση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

e^x- ίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Μαρ 25, 2020 6:46 pm

Να λυθεί στο \displaystyle R (μόνο με διασκεδαστικό τρόπο ) , η εξίσωση

\displaystyle {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11369
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: e^x- ίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 25, 2020 7:37 pm

Η εξίσωση δημιουργήθηκε ως εξής . 0 εκθέτης x-2 , ισούται είτε με τον 4-x , είτε με τον 3x+2.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε x=3 που επαληθεύει και στην δεύτερη x=-2 που επίσης

επαληθεύει ... Διασκεδάστε , δεν υπάρχουν άλλες λύσεις :lol:

Φυσικά λύνεται και νομίμως , αλλά εδώ δεν επιτρέπεται η νομιμότητα ...


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11369
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: e^x- ίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 25, 2020 8:45 pm

Δέχθηκα αφόρητη πίεση να δημοσιεύσω και μία νόμιμη λύση . Ιδού : Πολλαπλασιάζοντας επί e^x ,

η εξίσωση γίνεται : e^2e^{4x}-\dfrac{e^{10}+1}{e^2}e^{2x}+e^4=0 . Θέτοντας : y=e^{2x}  , y>0 ...


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1964
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: e^x- ίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Μαρ 25, 2020 9:09 pm

Αν διαιρέσουμε με το e^{3x+2} και τα δύο μέλη προκύπτει η εξίσωση
e^{-2x-4}+e^{-2x+6}=e^{-4x+2}+1
Παρατηρούμε ότι ο εκθέτης στο δεύτερο μέλος είναι το άθροισμα των εκθετών στο πρώτο μέλος.
Μετά είναι εύκολο.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: e^x- ίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μαρ 25, 2020 10:47 pm

 \displaystyle  {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}} \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - {e^{4 - x}} = {e^{3x + 2}} - {e^{x + 8}}

Παρατηρώ ότι κάθε μέλος μηδενίζεται για  \displaystyle x = 3. Έχουμε μια ρίζα.

 \displaystyle  {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}} \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - {e^{3x + 2}} = {e^{4 - x}} - {e^{x + 8}}

Παρατηρώ ότι κάθε μέλος μηδενίζεται για  \displaystyle x = -2. Έχουμε άλλη μια ρίζα.

Παρατηρώ επίσης, ότι  \displaystyle  {e^{x - 2}} \cdot {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} \cdot {e^{3x + 2}} .

Γράφω την αρχική ισότητα  \displaystyle a+b=c+d με  \displaystyle a \cdot b = c \cdot d, όλα θετικά.

Οπότε  \displaystyle  a + b = c + d \Leftrightarrow a + \frac{{cd}}{a} = c + d \Leftrightarrow {a^2} - \left( {c + d} \right)a + cd = 0 .
Η εξίσωση ως προς a, αν έχει λύσεις, θα είναι το πολύ δύο. Τόσες είχαμε βρει, άρα είμαστε εντάξει.

Αν δεν διασκεδάζετε με λύσεις όπως η παραπάνω, ας ακολουθήσετε την προτροπή του Θανάση ΕΔΩ.

(Εντάξει το ότι η y=e^x είναι "1-1" (κάθε a αντιστοιχεί σε ένα x) δεν το λες διασκεδαστικό, το λες απαραίτητη γνώση).


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: e^x- ίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Μαρ 26, 2020 10:35 pm

Ας δώσω κι εγώ μια διασκεδαστική εκδοχή . Ο αφηρημένος λύτης γράφει :

\displaystyle {{e}^{x-2}}+{{e}^{x+8}}={{e}^{4-x}}+{{e}^{3x+2}}\,\,\,\,\,\,\,(1)

Από τη γνωστή ταυτότητα \displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{x+y}}, έχουμε ότι η
\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{2x+6}}={{e}^{2x+6}} , οπότε ισχύει για κάθε \displaystyle x\in R.
Όμως το \displaystyle 0 δεν επαληθεύει . Λάθος ταυτότητα . :wallbash:

Άλλη προσπάθεια

Από τη γνωστή ταυτότητα \displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{xy}}, έχουμε ότι η
\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{(x-2)(x+8)}}={{e}^{(4-x)(3x+2)}}
Άρα : \displaystyle (x-2)(x+8)=(4-x)(3x+2)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow x=-2\vee x=3,
οι οποίες επαληθεύουν την \displaystyle (1). Πέτυχε . :clap2:


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες