Σελίδα 1 από 1

e^x- ίσωση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 25, 2020 6:46 pm
από exdx
Να λυθεί στο \displaystyle R (μόνο με διασκεδαστικό τρόπο ) , η εξίσωση

\displaystyle {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}}

Re: e^x- ίσωση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 25, 2020 7:37 pm
από KARKAR
Η εξίσωση δημιουργήθηκε ως εξής . 0 εκθέτης x-2 , ισούται είτε με τον 4-x , είτε με τον 3x+2.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε x=3 που επαληθεύει και στην δεύτερη x=-2 που επίσης

επαληθεύει ... Διασκεδάστε , δεν υπάρχουν άλλες λύσεις :lol:

Φυσικά λύνεται και νομίμως , αλλά εδώ δεν επιτρέπεται η νομιμότητα ...

Re: e^x- ίσωση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 25, 2020 8:45 pm
από KARKAR
Δέχθηκα αφόρητη πίεση να δημοσιεύσω και μία νόμιμη λύση . Ιδού : Πολλαπλασιάζοντας επί e^x ,

η εξίσωση γίνεται : e^2e^{4x}-\dfrac{e^{10}+1}{e^2}e^{2x}+e^4=0 . Θέτοντας : y=e^{2x}  , y>0 ...

Re: e^x- ίσωση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 25, 2020 9:09 pm
από xr.tsif
Αν διαιρέσουμε με το e^{3x+2} και τα δύο μέλη προκύπτει η εξίσωση
e^{-2x-4}+e^{-2x+6}=e^{-4x+2}+1
Παρατηρούμε ότι ο εκθέτης στο δεύτερο μέλος είναι το άθροισμα των εκθετών στο πρώτο μέλος.
Μετά είναι εύκολο.

Re: e^x- ίσωση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 25, 2020 10:47 pm
από Γιώργος Ρίζος
 \displaystyle  {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}} \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - {e^{4 - x}} = {e^{3x + 2}} - {e^{x + 8}}

Παρατηρώ ότι κάθε μέλος μηδενίζεται για  \displaystyle x = 3. Έχουμε μια ρίζα.

 \displaystyle  {e^{x - 2}} + {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} + {e^{3x + 2}} \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - {e^{3x + 2}} = {e^{4 - x}} - {e^{x + 8}}

Παρατηρώ ότι κάθε μέλος μηδενίζεται για  \displaystyle x = -2. Έχουμε άλλη μια ρίζα.

Παρατηρώ επίσης, ότι  \displaystyle  {e^{x - 2}} \cdot {e^{x + 8}} = {e^{4 - x}} \cdot {e^{3x + 2}} .

Γράφω την αρχική ισότητα  \displaystyle a+b=c+d με  \displaystyle a \cdot b = c \cdot d, όλα θετικά.

Οπότε  \displaystyle  a + b = c + d \Leftrightarrow a + \frac{{cd}}{a} = c + d \Leftrightarrow {a^2} - \left( {c + d} \right)a + cd = 0 .
Η εξίσωση ως προς a, αν έχει λύσεις, θα είναι το πολύ δύο. Τόσες είχαμε βρει, άρα είμαστε εντάξει.

Αν δεν διασκεδάζετε με λύσεις όπως η παραπάνω, ας ακολουθήσετε την προτροπή του Θανάση ΕΔΩ.

(Εντάξει το ότι η y=e^x είναι "1-1" (κάθε a αντιστοιχεί σε ένα x) δεν το λες διασκεδαστικό, το λες απαραίτητη γνώση).

Re: e^x- ίσωση

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 26, 2020 10:35 pm
από exdx
Ας δώσω κι εγώ μια διασκεδαστική εκδοχή . Ο αφηρημένος λύτης γράφει :

\displaystyle {{e}^{x-2}}+{{e}^{x+8}}={{e}^{4-x}}+{{e}^{3x+2}}\,\,\,\,\,\,\,(1)

Από τη γνωστή ταυτότητα \displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{x+y}}, έχουμε ότι η
\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{2x+6}}={{e}^{2x+6}} , οπότε ισχύει για κάθε \displaystyle x\in R.
Όμως το \displaystyle 0 δεν επαληθεύει . Λάθος ταυτότητα . :wallbash:

Άλλη προσπάθεια

Από τη γνωστή ταυτότητα \displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{xy}}, έχουμε ότι η
\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{(x-2)(x+8)}}={{e}^{(4-x)(3x+2)}}
Άρα : \displaystyle (x-2)(x+8)=(4-x)(3x+2)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow x=-2\vee x=3,
οι οποίες επαληθεύουν την \displaystyle (1). Πέτυχε . :clap2: