Η απάτη του μήνα ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11561
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η απάτη του μήνα ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 06, 2020 8:44 pm

Η  απάτη του μήνα ;.png
Η απάτη του μήνα ;.png (137.29 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Είμαι βέβαιος ότι σας αρέσει το Θ.Μ.Τ. Λοιπόν , σας βρήκα ενασχόληση !

Θεωρούμε την συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{lnx}{x-1}, &0<x\neq 1 \\ 
 & \\ 
 1& ,x=1
\end{matrix}\right.

α) Βρείτε - αν υπάρχει - την εξίσωση της εφαπτομένης \varepsilon της C_{f} , στο σημείο A(1,1) .

β) Ελέγξτε αν για την χορδή TS της καμπύλης μας , η \varepsilon είναι η παράλληλη του Θ.Μ.Τ.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η απάτη του μήνα ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 06, 2020 9:03 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 8:44 pm
Η απάτη του μήνα ;.pngΕίμαι βέβαιος ότι σας αρέσει το Θ.Μ.Τ. Λοιπόν , σας βρήκα ενασχόληση !

Θεωρούμε την συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\dfrac{lnx}{x-1}, &0<x\neq 1 \\  
 & \\  
 1& ,x=1 
\end{matrix}\right.

α) Βρείτε - αν υπάρχει - την εξίσωση της εφαπτομένης \varepsilon της C_{f} , στο σημείο A(1,1) .

β) Ελέγξτε αν για την χορδή TS της καμπύλης μας , η \varepsilon είναι η παράλληλη του Θ.Μ.Τ.
Για την εφαπτομένη στο (1,1) θέλουμε το όριο στο 1 του \displaystyle{\dfrac {\dfrac{\ln x}{x-1}-1 }{x-1}}= \dfrac {\ln x -(x-1) }{(x-1)^2}}} . Με l' Hospital ανάγεται στο όριο του \displaystyle{\dfrac {1/x-1}{2(x-1)} = -\dfrac {1}{2x} \to  -\dfrac {1}{2}}

To β) είναι άμεσο αφού ζητά αν έχει κλίση -1/2 τμήμα με γνωστά άκρα. Με πολλές αλλά απλές πράξεις η κλίση του τμήματος είναι \displaystyle{ -\dfrac {(e^2-e-1)(e+1)}{(e^2+e-1)(e^2-e)}}, και λοιπά (διαφέρουν).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3030
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Η απάτη του μήνα ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 06, 2020 9:11 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 8:44 pm
Η απάτη του μήνα ;.pngΕίμαι βέβαιος ότι σας αρέσει το Θ.Μ.Τ. Λοιπόν , σας βρήκα ενασχόληση !

Θεωρούμε την συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\dfrac{lnx}{x-1}, &0<x\neq 1 \\  
 & \\  
 1& ,x=1 
\end{matrix}\right.

α) Βρείτε - αν υπάρχει - την εξίσωση της εφαπτομένης \varepsilon της C_{f} , στο σημείο A(1,1) .

β) Ελέγξτε αν για την χορδή TS της καμπύλης μας , η \varepsilon είναι η παράλληλη του Θ.Μ.Τ.
Για -1<t\leq 1
είναι
\displaystyle \ln (1+t)=\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\frac{t^{k}}{k}
Ετσι
\displaystyle \ln x=\ln (1+x-1)=\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\frac{(x-1)^{k}}{k}, 0<x\leq 2
Αρα
\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\frac{(x-1)^{k-1}}{k}, 0<x\leq 2

οπότε παραγωγίζεται στο 1 όσες φορές θέλουμε και μπορούμε
να βρούμε και τις παραγώγους.

Τα υπόλοιπα δεν είναι καθόλου διασκεδαστικά για μένα.
Βλέπω ότι έχει απαντήσει και ο Μιχάλης με διαφορετική απάντηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3030
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Η απάτη του μήνα ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 06, 2020 11:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 9:03 pm

To β) είναι άμεσο αφού ζητά αν έχει κλίση -1/2 τμήμα με γνωστά άκρα. Με πολλές αλλά απλές πράξεις η κλίση του τμήματος είναι \displaystyle{ -\dfrac {(e^2-e-1)(e+1)}{(e^2+e-1)(e^2-e)}}, και λοιπά (διαφέρουν).
Αποκλείεται να είναι σωστές οι πράξεις.
Ο
\ln (1+e)
δεν μπορεί να απλοποιηθεί.
Αυτό δίνει και την απάντηση ότι το β) δεν μπορεί να ισχύει.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η απάτη του μήνα ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 07, 2020 12:26 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 11:27 pm
Αποκλείεται να είναι σωστές οι πράξεις.
Σωστά. Έκανα λάθος τις πράξεις και δεν αξίζει να τις ξανακάνω.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 9:11 pm
Τα υπόλοιπα δεν είναι καθόλου διασκεδαστικά για μένα.
Συμφωνώ και επαυξάνω. Π.χ. έχω καταθέσει την άποψή μου εδώ.

Προσθέτω ότι κατατάσσω (ιδίως το β' μέρος της άσκησης) στο άλλο άκρο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών: Στα Μαθηματικά της Λογιστικής
και όχι των ιδεών. Χρήσιμα και αυτά, αλλά όχι Διασκεδαστικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11561
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η απάτη του μήνα ;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 10, 2020 12:52 pm

Το κεντρικό ζητούμενο της άσκησης , είναι η εύρεση της κλίσης της εφαπτομένης στο A(1,1) , που είναι -0,500

Θέλοντας να βρω χορδή παράλληλη προς την εφαπτομένη , πήρα ως βολικό σημείο το S αλλά άντε να βρεις

το άλλο . Παρατηρώντας όμως ότι για x=\dfrac{1}{e+1} , η χορδή TS "μοιάζει" παράλληλη της εφαπτομένης ,

δημιουργήθηκε το τεθέν ερώτημα . Η κλίση του TS είναι : \dfrac{(e+1)[e-(e^2-1)\ln(e+1)]}{e(e-1)(e^2+e-1)}\simeq-0,496

Δεν το λες και διασκεδαστικό αλλά ένα χαμόγελο το σκας :P


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η απάτη του μήνα ;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 10, 2020 6:36 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 10, 2020 12:52 pm
Δεν το λες και διασκεδαστικό αλλά ένα χαμόγελο το σκας :P

Χμμμμ. Σεβαστό αλλά .... δεν νομίζω. Είναι θέμα οπτικής.

Το τι συγκροτεί διασκεδαστικό πρέπει να αναφέρεται στην τεχνική και όχι αν κάποια μεγάλη παράσταση είναι περίπου ίση με -0,5.

Ακόμα κι ακριβώς ίση με -0,5 και αν ήταν, το γεγονός ότι έχει πολλές μακρόσυρτες πράξεις ρουτίνας το κατατάσσει
στα ανιαρά Μαθηματικά. Στο άλλο άκρο των Διασκεδαστικών.

Την φιλοσοφία μου για το τι είναι Διασκεδαστικό την έχω πει αλλά ας την επαναλάβω από άλλο ποστ σε ανάλογη περίπτωση.

Για μένα Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι αυτό που ονομάζουμε Recreational Mathematics, με μία τεράστια παράδοση
που στον Δυτικό κόσμο ξεκινά με το Liber Abaci (1202) του Fibonacci και με εκπροσώπους όπως τον
Prevost, La Première partie des subtiles et plaisantes inventions (1584), τον Claude Gaspard Bachet de Méziriac,
Problèmes plaisants et délectables (1624), μετά Ozanam, Sam Loyd, Dudeney, Lewis Caroll, Kraitchik, Smullyan,
Gardner, Perelman και μύρια άλλα ονόματα.

Για εμένα το παραπάνω πρόβλημα είναι καθαρά Μαθηματικό. Το ότι η απάντηση περιέχει \phi ή \pi ή άλλη ωραία σταθερά, δεν είναι
από μόνη της επαρκής αιτιολογία για να χαρακτηριστεί ένα πρόβλημα ως Recreactional.

Ωραίο μεν το συγκεκριμένο πρόβλημα, αλλά άλλο καταλαβαίνω ως Διασκεδαστικό
.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες