Μεγάλες κατασκευές 31

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11776
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 31

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 28, 2020 9:07 pm

Μεγάλες  κατασκευές 30.png
Μεγάλες κατασκευές 30.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
Στην προέκταση της πλευράς DC ενός παραλληλογράμμου ABCD , κινείται σημείο S .

Η AS τέμνει τις BD , BC στα σημεία P , T αντίστοιχα . Βρείτε εκείνη την θέση του S

για την οποία : AP=TS . Υπολογίστε το τμήμα CS , συναρτήσει των πλευρών a,b .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7441
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 31

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 28, 2020 11:13 pm

μεγάλες κατασκευές 21_a.png
μεγάλες κατασκευές 21_a.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Αν το F χωρίζει το DC = a σε μέσο και άκρο λόγο (D{F^2} = FC \cdot DC)

Προεκτείνω , το DC, πέραν του C κατά τμήμα \boxed{CS = DF}.

Το μήκος b δεν επηρεάζει τον προσδιορισμό του σημείου S.

Δεν βλέπω κάτι καλά ; ίσως .
μεγάλες κατασκευές 21_b.png
μεγάλες κατασκευές 21_b.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 31

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τετ Ιαν 29, 2020 12:02 am

Λάθος σκέψη γι αυτó το hide
megaleskataskeeues31.png
megaleskataskeeues31.png (161.14 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Αν φέρω την μεσοκάθετο του AT και τον κύκλο (A,AP) , τότε AP = AI = IT

Συνεπώς τώρα το S προσδιορίζεται απ την τομή του κύκλου (T,TI) με την DC ή κάνω λάθος ;
τελευταία επεξεργασία από angvl σε Τετ Ιαν 29, 2020 2:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 31

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Ιαν 29, 2020 12:35 am

Καλό βράδυ σε όλους.

Ενδεχομένως βγαίνει και συντομότερα...

Με θεώρημα Μενελάου:
\bullet Στο τρίγωνο ACT διατέμνουσας \overline{BPO} έχω: \dfrac{OA}{OC}\cdot \dfrac{BC}{BT}\cdot \dfrac{PT}{PA}=1\Leftrightarrow \dfrac{PT}{PA}\cdot \dfrac{BT}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{PT}{TS}=\dfrac{BT}{BC}\,\,(1)

\bullet Στο τρίγωνο PDS διατέμνουσας \overline{BTC} έχω: \dfrac{CS}{CD}\cdot \dfrac{BD}{BP}\cdot \dfrac{TP}{TS}= \dfrac{x}{a}\cdot \dfrac{BD}{BP}\cdot \dfrac{TP}{TS}=1\,\,(2)

\bullet Στο τρίγωνο BDC διατέμνουσας \overline{STP} έχω: \dfrac{PB}{PD}\cdot \dfrac{SD}{SC}\cdot \dfrac{TC}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{BT}{b}\cdot \dfrac{a+x}{x}\cdot \dfrac{TC}{BT}=1\Leftrightarrow TC=\dfrac{bx}{a+x}\,\,(3)

Eίναι (2)\overset{(1)}{\Leftrightarrow }\dfrac{x}{a}\cdot \dfrac{BD}{BP}\cdot \dfrac{BT}{BC}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}\cdot \dfrac{AS}{AP}\cdot \dfrac{AT}{AS}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}\cdot \dfrac{AT}{AP}=1\,\,(4)
Όμως \dfrac{AT}{AP}=\dfrac{AP+PT}{AP}=\dfrac{PT}{AP}+1=\dfrac{BT}{b}+1\overset{(3)}{=}\dfrac{b-\dfrac{bx}{a+x}}{b}+1=\dfrac{a}{a+x}+1
Άρα η (4) γίνεται \dfrac{x}{a}\cdot \left ( \dfrac{a}{a+x}+1 \right )=1\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x^{2}+ax-a^{2}=0 με δεκτή ρίζα την x=\dfrac{\sqrt{5}a -a}{2}.
Αύριο θα κοιτάξω και την κατασκευή, τώρα :sleeping:

Υγ: Συμφωνώ με τον κ.Νίκο πως το x είναι ανεξάρτητο του b.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7441
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 31

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 29, 2020 1:39 am

Σταθερό στο πρόβλημά μας είναι το παραλληλόγραμμο και με ότι αυτό συνεπάγεται.

Έστω λοιπόν λυμένο το πρόβλημα .

Από το P φέρνω παράλληλη στην BC που τέμνει την DC στο F . προφανώς θα είναι DF = CS.

Τα γράφω όπως μου τα έμαθαν οι δάσκαλοι μου.

( Αν τμήματα ευθείας μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και πάσης άλλης

ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών , θα είναι ίσα )

Όμως τα τρίγωνα ABT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SFP είναι ίσα γιατί έχουν :

AT = SP και τις προσκείμενες σ αυτές γωνίες μια προς μία ίσες .

Άρα θα είναι ίσα και θα έχουν : BT = FP κι αφού BT//FP το τετράπλευρο BTFP είναι παραλληλόγραμμο .
μεγάλες κατασκευές 21.png
μεγάλες κατασκευές 21.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Πάμε τώρα στο λογιστικό μέρος.

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{PF}}{{BC}} \hfill \\ 
  \frac{{FC}}{{CS}} = \frac{{PT}}{{TS}} = \frac{{PT}}{{PA}} = \frac{{BT}}{{AD}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{a} = \frac{{PF}}{b} \hfill \\ 
  \frac{{a - x}}{x} = \frac{{PT}}{{TS}} = \frac{{PT}}{{PA}} = \frac{{BT}}{b} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Αλλά PF// = BT κι αφού τα δεύτερα-τελικά μέλη των προηγουμένων είναι ίσα

Θα έχω: \boxed{\frac{x}{a} = \frac{{a - x}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = a(a - x)}

Η προηγούμενη σχέση είναι ο ορισμός της χρυσής τομής :

«Το πιο μεγάλο τμήμα είναι μέσο ανάλογο του υπολοίπου και του αρχικού»

Αν στην τελευταία σχέση θέσω : a = xt θα προκύψει :

{x^2} = xt\left( {xt - x} \right) \Leftrightarrow {x^2}{t^2} - {x^2}t - {x^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0 , δηλαδή \boxed{t = \frac{a}{x} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }

Κατασκευή.

Αν το F χωρίζει το σταθερό DC = a σε μέσο και άκρο λόγο (D{F^2} = FC \cdot DC)

προεκτείνω , το DC, πέραν του C κατά τμήμα \boxed{CS = DF}.

Το μήκος b δεν επηρεάζει τον προσδιορισμό του σημείου S.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 31

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 29, 2020 11:44 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 28, 2020 9:07 pm
Μεγάλες κατασκευές 30.png Στην προέκταση της πλευράς DC ενός παραλληλογράμμου ABCD , κινείται σημείο S .

Η AS τέμνει τις BD , BC στα σημεία P , T αντίστοιχα . Βρείτε εκείνη την θέση του S

για την οποία : AP=TS . Υπολογίστε το τμήμα CS , συναρτήσει των πλευρών a,b .
Για τον υπολογισμό. Δεν έχω διαβάσει καμία λύση. Ελπίζω να μην πέσω σε κάποια από τις προηγούμενες.

Έστω AP=TS=y.
Μεγάλες κατασκευές.31.png
Μεγάλες κατασκευές.31.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
\displaystyle CT||AB \Rightarrow \frac{x}{{x + a}} = \frac{{CT}}{b} \Leftrightarrow CT = \frac{{bx}}{{x + a}} \Rightarrow \boxed{BT = \frac{{ab}}{{a + x}}} (1)

\displaystyle CS||AB \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{{y + PT}} \Leftrightarrow \boxed{PT = \frac{{y(a - x)}}{x}} (2)

\displaystyle BT||AD \Rightarrow \frac{y}{{PT}} = \frac{b}{{BT}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1,2)} {x^2} + ax - {a^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = a\left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right) = \frac{a}{\Phi }}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες