Ολοκληρωτικός πίνακας

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ολοκληρωτικός πίνακας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 13, 2020 3:03 pm

Το : \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^n}{e^x}dx , υπολογίζεται από τον παρακάτω πίνακα με το εξής παράδειγμα :

\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^4}{e^x}dx=24-\dfrac{65}{e} , κ . λ . π .

Κάντε κάποιες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις σ' αυτόν τον πίνακα και σαν

συμπέρασμα , συμπληρώστε την τελευταία γραμμή του .
Ολοκλήρωμα.png
Ολοκλήρωμα.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρωτικός πίνακας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 14, 2020 12:52 am

Με άμεση ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι

I_n= \int_{0}^{1}x^ne^{-x}dx  = \left [ -x^ne^{-x} \right ]_0^1 - n\int_{0}^{1}x^{n-1}e^{-x}dx = -\frac {1}{e} +nI_{n-1} , οπότε μπορούμε να γράψουμε τις τιμές όσων όρων επιθυμούμε, αρχίζοντας απί το I_1.

Ειδικότερα για ακεραίους A_n, B_n με \displaystyle{ \int_{0}^{1}x^ne^{-x}dx  = A_n - \frac {B_n}{e}}, η αναδρομική δίνει \displaystyle{A_n- \frac {B_{n}}{e}= - \frac {1}{e}+ n\left ( A_{n-1} - \frac {B_{n-1}}{e}\right ) }, με A_1=1, B_1=2.

Άρα A_n=nA_{n-1}, B_n=n B_{n-1}+1, οπότε A_n=n!, \, και κάτι αντίστοιχο για το B_n (δεν το έκανα αλλά είναι στάνταρ αναδρομική).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης