Συντομία , όχι ταχύτητα
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Συντομία , όχι ταχύτητα
Εδώ κερδίζει η συντομία της λύσης , όχι η ταχύτητα απάντησης !
Να δω τι θα σκαρφιστείτε εσείς οι επτά ! ( μέσο της ) .
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Ξεκινώ με μια πτωχή και αργή, πλην τίμια λύση, για να δούμε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.
Είναι .
Ν. Συνημιτόνων στο , .
1ο Θ. Διαμέσων .
Ν. Συνημιτόνων στο , .
Οπότε .
Είναι .
Ν. Συνημιτόνων στο , .
1ο Θ. Διαμέσων .
Ν. Συνημιτόνων στο , .
Οπότε .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
2η λύση (κάπως συντομότερη)
Είναι .
Ν. Συνημιτόνων στο :
Φέρνουμε το ύψος στη , οπότε .
Πυθαγόρειο στο :
edit: Στο σχήμα το μέσο της είναι , βεβαίως, κι όχι ...
Είναι .
Ν. Συνημιτόνων στο :
Φέρνουμε το ύψος στη , οπότε .
Πυθαγόρειο στο :
edit: Στο σχήμα το μέσο της είναι , βεβαίως, κι όχι ...
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Αν το ύψος του τριγώνου τότε :
Y.S. Κερδίζω κάτι Θανάση ;
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Με πρόλαβε ο κ.Στάθης! το αφήνω για τον κόπο...
Φέρω το ύψος . Θα είναι
Απο 2ο θεώρημα διαμέσων έχω
Φέρω το ύψος . Θα είναι
Απο 2ο θεώρημα διαμέσων έχω
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Δεν είδα τη λύση του Γιώργου τη δεύτερη .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Ιαν 05, 2020 2:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Χαιρετώ την ομάδα.. αμέσου δράσεως! Μια προσπάθεια για ..διάβασμα της σκέψης του δαιμόνιου KARKAR..
Νίκος! . Θα έγραφα λοιπόν πως ο Θανάσης ένωσε δύο βολικές Πυθαγόρειες τριάδες
τις και και η συνέχεια είναι φανερή .. Φιλικά Γιώργος.
Όπως βλέπω πρόλαβε ο ωκύτατος τις και και η συνέχεια είναι φανερή .. Φιλικά Γιώργος.
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Παρακαλείται ο Θανάσης να μην επέμβει ακόμη ( κι ας είναι ο έβδομος!)
Η άσκηση έχε κι άλλες διαφορετικές και σύντομες λύσεις. Αλλά θέλουμε να δούμε και ποδόσφαιρο!
Η άσκηση έχε κι άλλες διαφορετικές και σύντομες λύσεις. Αλλά θέλουμε να δούμε και ποδόσφαιρο!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Η τρίτη πλευρά δεν είναι υποχρεωτικά Παρόλα αυτά η ζητούμενη γωνία δεν αλλάζει.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
H ημιπερίμετρος είναι , οπότε από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε .
Λύνοντας την δευεροβάθμια ως προς θα βρούμε ή . Κρατάμε τις θετικές. Οπότε έχουμε δύο εκδοχές , τις και . Τα υπόλοιπα άμεσα. Με άλλα λόγια έχουμε δύο τρίγωνα, αλλά τυχαίνει και βγάζουν την ίδια .
Edit: Με πρόλαβε ο Γιώρργος, με το ίδιο σχόλια για δεύτερο τρίγωνο. Το αφήνω. Υπόψη ότι το δεύτερο είναι αμβλυγώνιο, και εκεί χάθηκε κάποια εκδοχή στις παραπάνω λύσεις. Ακριβέστερα, είναι .
Λύνοντας την δευεροβάθμια ως προς θα βρούμε ή . Κρατάμε τις θετικές. Οπότε έχουμε δύο εκδοχές , τις και . Τα υπόλοιπα άμεσα. Με άλλα λόγια έχουμε δύο τρίγωνα, αλλά τυχαίνει και βγάζουν την ίδια .
Edit: Με πρόλαβε ο Γιώρργος, με το ίδιο σχόλια για δεύτερο τρίγωνο. Το αφήνω. Υπόψη ότι το δεύτερο είναι αμβλυγώνιο, και εκεί χάθηκε κάποια εκδοχή στις παραπάνω λύσεις. Ακριβέστερα, είναι .
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Λίγο διαφορετικά:
Από τη σχέση
έχουμε
Με αντικατάσταση βρίσκουμε
Από τη σχέση
έχουμε
Με αντικατάσταση βρίσκουμε
Μάγκος Θάνος
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 05, 2020 7:30 pmΜε άλλα λόγια έχουμε δύο τρίγωνα, αλλά τυχαίνει και βγάζουν την ίδια .
Ας δείξουμε ότι η ίδια , δεν είναι σύμπτωση !
( Μεσολάβησε η ανάρτηση του Θάνου που απαντά στο ερώτημα )
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Όχι μόνο. Η λύση του Στάθη και του Θεοδόση το δέιχνουν αυτό, και βέβαια υπάρχουν πολλοί ακόμη τρόποι.
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Θεωρώ αρχή αξόνων το και οριζόντιο άξονα την .
Ας είναι : και με άρα .
Είναι :
Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο τελευταίων έχω :
Δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι
Συνεπώς η γωνία είναι οξεία ( αφού η παραπληρωματική της είναι αμβλεία) και
( ο , άρα και το μήκος του δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα).
Παρατήρηση : το ότι η γωνία είναι οξεία προκύπτει και από την Ευκλείδεια γεωμετρία αφού
Ας είναι : και με άρα .
Είναι :
Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο τελευταίων έχω :
Δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι
Συνεπώς η γωνία είναι οξεία ( αφού η παραπληρωματική της είναι αμβλεία) και
( ο , άρα και το μήκος του δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα).
Παρατήρηση : το ότι η γωνία είναι οξεία προκύπτει και από την Ευκλείδεια γεωμετρία αφού
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Ας το γενικεύσουμε:
τότε, ή
Τα τρίγωνα όμως είναι ίσα, όπως και τα Έτσι,
Η απόδειξη είναι απλή, αν για παράδειγμα κρατήσουμε την κοινή πλευρά και προεκτείνουμε την κατά Τώρα τα έχουν τις προδιαγραφές των προηγούμενων τριγώνων (με παραπληρωματικές τις γωνίες της κορυφής ) και όλα είναι προφανή.
Αν δύο τρίγωνα με διαμέσους έχουν:τότε, ή
Τα τρίγωνα όμως είναι ίσα, όπως και τα Έτσι,
Η απόδειξη είναι απλή, αν για παράδειγμα κρατήσουμε την κοινή πλευρά και προεκτείνουμε την κατά Τώρα τα έχουν τις προδιαγραφές των προηγούμενων τριγώνων (με παραπληρωματικές τις γωνίες της κορυφής ) και όλα είναι προφανή.
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Η λίστα των - μέχρι τώρα - λυτών :
1. Γ. Ρίζος
2. Θ. Φωτιάδης
3. Ν. Φραγκάκης
4. Γ. Μήτσιος
5. Γ. Βισβίκης
6. Θ. Μάγκος
7. Σ. Κούτρας
Όπως έχω υποσχεθεί , τον έπαινο κερδίζει ο έβδομος ( της λίστας ) .
Οι υπόλοιποι "εύφημον μνείαν" τις ευχαριστίες και τις ευχές μου !
1. Γ. Ρίζος
2. Θ. Φωτιάδης
3. Ν. Φραγκάκης
4. Γ. Μήτσιος
5. Γ. Βισβίκης
6. Θ. Μάγκος
7. Σ. Κούτρας
Όπως έχω υποσχεθεί , τον έπαινο κερδίζει ο έβδομος ( της λίστας ) .
Οι υπόλοιποι "εύφημον μνείαν" τις ευχαριστίες και τις ευχές μου !
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συντομία , όχι ταχύτητα
Από τον τύπο της διαμέσου έχουμε και με ν.συνημιτόνου στο
(2)$
Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε εφθ=24/11 (Για κάποιο λόγο κόλησε το LATEX)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 15 επισκέπτες