Συντομία , όχι ταχύτητα

KARKAR · #1

: Συντομία , όχι ταχύτητα.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει εμβαδόν $126 \tau. \mu.$ . Υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Εδώ κερδίζει η συντομία της λύσης , όχι η ταχύτητα απάντησης !

Να δω τι θα σκαρφιστείτε εσείς οι επτά ! (

μέσο της

) .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Ξεκινώ με μια πτωχή και αργή, πλην τίμια λύση, για να δούμε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.

: Συντομία , όχι ταχύτητα.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές

Είναι $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{{AB \cdot A\Gamma \cdot \eta \mu {\rm A}}}{2} \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A} = \frac{{63}}{{65}} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{16}}{{65}}$ .

Ν. Συνημιτόνων στο ABC

, $\displaystyle {a^2} = {13^2} + {20^2} - 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \frac{{16}}{{65}} = 441 \Rightarrow a = 21$ .

1ο Θ. Διαμέσων $\displaystyle {b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow {\rm A}{{\rm M}^2} = \frac{{697}}{4}$ .

Ν. Συνημιτόνων στο ABM

, $\displaystyle {13^2} = {\left( {\frac{{21}}{2}} \right)^2} + \frac{{697}}{4} - 2 \cdot \frac{{21}}{2} \cdot \frac{{\sqrt {697} }}{2}\sigma \upsilon \nu \varphi \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{231}}{{21\sqrt {697} }}$ .

Οπότε $\displaystyle \tan \varphi = \sqrt {\frac{{{{21}^2} \cdot 697 - {{231}^2}}}{{{{231}^2}}}} = \frac{{24}}{{11}}$ .

#3

2η λύση (κάπως συντομότερη)

: 05-01-2020 Γεωμετρία.png (32.11 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

Είναι $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{{AB \cdot A\Gamma \cdot \eta \mu {\rm A}}}{2} \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A} = \frac{{63}}{{65}} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{16}}{{65}}$ .

Ν. Συνημιτόνων στο ABC

: $\displaystyle {a^2} = {13^2} + {20^2} - 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \frac{{16}}{{65}} = 441 \Rightarrow a = 21$

Φέρνουμε το ύψος

στη

, οπότε $\displaystyle 126 = \frac{{21 \cdot {\rm A}{\rm N}}}{2} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm N} = 12$ .
Πυθαγόρειο στο ABN

: $\displaystyle {\rm B}{{\rm N}^2} = {13^2} - {12^2} = {5^2} \Rightarrow {\rm B}{\rm N} = 5 \Leftrightarrow {\rm M}{\rm N} = 5,5 \Rightarrow \tan \varphi = \frac{{24}}{{11}}$

edit: Στο σχήμα το μέσο της

είναι

, βεβαίως, κι όχι

...

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 12:13 pm
Συντομία , όχι ταχύτητα.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει εμβαδόν $126 \tau. \mu.$ . Υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Εδώ κερδίζει η συντομία της λύσης , όχι η ταχύτητα απάντησης !

Να δω τι θα σκαρφιστείτε εσείς οι επτά ! ( μέσο της ) .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Στην πραγματικότητα , ότι και να γράψετε , θα κερδίσει ο έβδομος !!

Αν

το ύψος του τριγώνου τότε : $\left\{ \begin{matrix} 2a\cdot AH=4\cdot 126 \\ 2a\cdot HM={{b}^{2}}-{{c}^{2}}=7\cdot 33 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \dfrac{AH}{HM}=\dfrac{4\cdot 126}{7\cdot 33}\Rightarrow \tan \theta =\dfrac{24}{11}$

Y.S. Κερδίζω κάτι Θανάση ;

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Με πρόλαβε ο κ.Στάθης! το αφήνω για τον κόπο...
Φέρω το ύψος

. Θα είναι $(ABC)=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=126\Leftrightarrow BC=\dfrac{252}{AD}(1)$
Απο 2ο θεώρημα διαμέσων έχω $AC^{2}-AB^{2}=2\cdot BC\cdot DM\Leftrightarrow 400-169=2\cdot BC\cdot DM\overset{(1)}{\Leftrightarrow} 231=2\cdot \dfrac{252}{AD}\cdot DM\Leftrightarrow \dfrac{AD}{DM}=\dfrac{504}{231}=\dfrac{24}{11}$

#6

: Συντομία όχι ταχύτητα.png (22.45 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές

προφανής απάντηση.

Δεν είδα τη λύση του Γιώργου τη δεύτερη .

Γιώργος Μήτσιος · #7

Χαιρετώ την ομάδα.. αμέσου δράσεως! Μια προσπάθεια για ..διάβασμα της σκέψης του δαιμόνιου KARKAR..

: Συντομία...KARKAR.PNG (10.38 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Όπως βλέπω πρόλαβε ο ωκύτατος Νίκος! . Θα έγραφα λοιπόν πως ο Θανάσης ένωσε δύο βολικές Πυθαγόρειες τριάδες
τις 5,12,13

και

και η συνέχεια είναι φανερή .. Φιλικά Γιώργος.

#8

Παρακαλείται ο Θανάσης να μην επέμβει ακόμη ( κι ας είναι ο έβδομος!)

Η άσκηση έχε κι άλλες διαφορετικές και σύντομες λύσεις. Αλλά θέλουμε να δούμε και ποδόσφαιρο!

#9

Η τρίτη πλευρά δεν είναι υποχρεωτικά 21.

Παρόλα αυτά η ζητούμενη γωνία δεν αλλάζει.

: εφθ.Κ..png (16.86 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

#10

H ημιπερίμετρος είναι $\displaystyle{\dfrac {33+a}{2}}$ , οπότε από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε $\displaystyle{\sqrt {\dfrac {33+a}{2}\cdot \dfrac {33-a}{2}\cdot \dfrac {a+7}{2}\cdot \dfrac {a-7}{2}} = 126}$ .

Λύνοντας την δευεροβάθμια ως προς a^2

θα βρούμε $a=\pm 21$ ή $a=\pm \sqrt {697}$ . Κρατάμε τις θετικές. Οπότε έχουμε δύο εκδοχές , τις a= 21

και $a= \sqrt {697}$ . Τα υπόλοιπα άμεσα. Με άλλα λόγια έχουμε δύο τρίγωνα, αλλά τυχαίνει και βγάζουν την ίδια $\theta$ .

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώρργος, με το ίδιο σχόλια για δεύτερο τρίγωνο. Το αφήνω. Υπόψη ότι το δεύτερο είναι αμβλυγώνιο, και εκεί χάθηκε κάποια εκδοχή στις παραπάνω λύσεις. Ακριβέστερα, είναι $\displaystyle{\sin A = \frac{{63}}{{65}} \Rightarrow \cos A = \pm \frac{{16}}{{65}}}$ .

#11

Λίγο διαφορετικά:

Από τη σχέση

$\displaystyle{\tan X=\frac{4(XYZ)}{y^2+z^2-x^2}}$ έχουμε

$\displaystyle{\tan \theta =\frac{4\frac{(ABC)}{2}}{\frac{a^2}{4}+m_a ^2-c^2}=\frac{4(ABC)}{b^2-c^2}.}$

Με αντικατάσταση βρίσκουμε

$\displaystyle{\tan \theta =\frac{24}{11}.}$

KARKAR · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 7:30 pm
Με άλλα λόγια έχουμε δύο τρίγωνα, αλλά τυχαίνει και βγάζουν την ίδια $\theta$ .

Ας δείξουμε ότι η ίδια $\theta$ , δεν είναι σύμπτωση !

( Μεσολάβησε η ανάρτηση του Θάνου που απαντά στο ερώτημα )

#13

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 8:05 pm
Ας δείξουμε ότι η ίδια $\theta$ , δεν είναι σύμπτωση !

( Μεσολάβησε η ανάρτηση του Θάνου που απαντά στο ερώτημα )

Όχι μόνο. Η λύση του Στάθη και του Θεοδόση το δέιχνουν αυτό, και βέβαια υπάρχουν πολλοί ακόμη τρόποι.

#14

Θεωρώ αρχή αξόνων το $M\left( {0,0} \right)$ και οριζόντιο άξονα την

.

Ας είναι : $A\left( {a,b} \right)\,\,\,,\,\,b > 0$ και $C\left( {c,0} \right)$ με c > 0

άρα $B\left( { - c,0} \right)$ .

Είναι : $\left\{ \begin{gathered} bc = 126 = 2 \cdot 7 \cdot {3^2} \hfill \\ {\left( {a - c} \right)^2} + {b^2} = {20^2} \hfill \\ {\left( {a + c} \right)^2} + {b^2} = {13^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο τελευταίων έχω :

$\left\{ \begin{gathered} bc = 126 = 2 \cdot 7 \cdot {3^2} \hfill \\ - 4ac = 33 \cdot 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{b}{a} = - \frac{{4 \cdot 2 \cdot 7 \cdot {3^2}}}{{33 \cdot 7}} = - \frac{{24}}{{11}}}$

: Συντομία όχι ταχύτητα_2.png (18.95 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος $\overrightarrow {MA}$ είναι $\boxed{\lambda = - \frac{{24}}{{11}}}$

Συνεπώς η γωνία $\theta$ είναι οξεία ( αφού η παραπληρωματική της είναι αμβλεία) και

$\boxed{\tan \theta = - \lambda = \frac{{24}}{{11}}}$ ( ο

, άρα και το μήκος του

δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα).

Παρατήρηση : το ότι η γωνία $\theta$ είναι οξεία προκύπτει και από την Ευκλείδεια γεωμετρία αφού AB < AC

#15

Ας το γενικεύσουμε:

: εφθ.Κ.β.png (19.28 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Αν δύο τρίγωνα ABC, A'B'C'

με διαμέσους AM, A'M'

έχουν:
$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle AB = A'B'$
$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle AC = A'C'$
$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle (ABC) = (A'B'C')$

τότε, $\boxed{\widehat A=\widehat A'}$ ή $\boxed{\widehat A+\widehat A'=180^\circ}$

Τα τρίγωνα όμως ABM, A'B'M'

είναι ίσα, όπως και τα ACM, A'C'M'.

Έτσι, $\boxed{A'\widehat {M'}B' = A\widehat MB = \theta }$

Η απόδειξη είναι απλή, αν για παράδειγμα κρατήσουμε την

κοινή πλευρά και προεκτείνουμε την

κατά

: εφθ.Κ.γ.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Τώρα τα

έχουν τις προδιαγραφές των προηγούμενων τριγώνων (με παραπληρωματικές τις γωνίες της κορυφής

) και όλα είναι προφανή.

KARKAR · #16

Η λίστα των - μέχρι τώρα - λυτών :

1. Γ. Ρίζος
2. Θ. Φωτιάδης
3. Ν. Φραγκάκης
4. Γ. Μήτσιος
5. Γ. Βισβίκης
6. Θ. Μάγκος
7. Σ. Κούτρας

Όπως έχω υποσχεθεί , τον έπαινο κερδίζει ο έβδομος ( της λίστας ) .

Οι υπόλοιποι "εύφημον μνείαν" τις ευχαριστίες και τις ευχές μου !

Μιχάλης Τσουρακάκης · #17

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 12:13 pm
Συντομία , όχι ταχύτητα.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει εμβαδόν $126 \tau. \mu.$ . Υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Εδώ κερδίζει η συντομία της λύσης , όχι η ταχύτητα απάντησης !

Να δω τι θα σκαρφιστείτε εσείς οι επτά ! ( μέσο της ) .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Στην πραγματικότητα , ότι και να γράψετε , θα κερδίσει ο έβδομος !!

$2(ABM)=126 \Rightarrow am_asin \theta =252$ (1)

Από τον τύπο της διαμέσου έχουμε 4m^2_a+a^2=1138

και με ν.συνημιτόνου στο

$\triangle ABM \Rightarrow 4m^2_a+a^2-4am_acos \theta =676 \Rightarrow am_acos \theta = \frac{231}{2}$ (2)$

Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε εφθ=24/11 (Για κάποιο λόγο κόλησε το LATEX)

: Συντομία,όχι ταχύτητα.png (35.43 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Συντομία , όχι ταχύτητα

Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Μέλη σε σύνδεση