Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 27, 2019 7:53 pm

Βρείτε τον θετικό ακέραιο n , ώστε το : \displaystyle \int_{n}^{3n+1}(x+n)(\sqrt{x-n})dx

να έχει επίσης ακέραια τιμή . Απαιτείται κάποιου είδους αιτιολόγηση :ewpu:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 27, 2019 9:50 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 7:53 pm
Βρείτε τον θετικό ακέραιο n , ώστε το : \displaystyle \int_{n}^{3n+1}(x+n)(\sqrt{x-n})dx

να έχει επίσης ακέραια τιμή . Απαιτείται κάποιου είδους αιτιολόγηση :ewpu:
\displaystyle{\displaystyle \int_{n}^{3n+1}(x+n)(\sqrt{x-n})dx = \displaystyle \int_{0}^{2n+1}(y+2n)(\sqrt{y})dy = ...= \dfrac {1}{15}(64n^2+44n+6)\sqrt {2n+1}= }

\displaystyle{=\dfrac {2}{15}(2n+1)(16n+3)\sqrt {2n+1}}

Πρέπει πρώτ' απ' όλα 2n+1= τέλειο τετράγωνο (εννοείται περιττού), οπότε 2n+1=(2m+1)^2 ή αλλιώς n=2m(m+1).

Βάζουμε αυτό το n πίσω στην παράσταση. Θα πάρει την μορφή

\displaystyle{ \dfrac {2}{15}(4m(m+1)+1)(32m(m+1)+3)(2m+1)}

Έχουμε άπειρες τιμές του m που ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του 15. Π,χ. όταν ο τελευταίος παράγοντας 2m+1 είναι πολλαπλάσιο του 15. Ένα παράδειγμα ο m=7, άλλο ο m=22 και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 27, 2019 10:13 pm

Ωραία αντιμετώπιση :clap2: . Μας κάνει και το m=2 , (n=12) γιατί βγάζει πολλαπλάσιο του 3

στην δεύτερη παρένθεση και 5 στο ριζικό ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες