Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Δεκ 25, 2019 4:35 pm

Ο Άγιος Βασίλης σας θυμήθηκε και φέτος!

Σας έφερε το αγαπημένο σας CD με τα 100 καλύτερα χριστουγεννιάτικα και πρωτοχρονιάτικα τραγούδια!

Ξεχάσατε όμως να του ζητήσετε και ένα σύγχρονο στερεοφωνικό οπότε θα βολευτείτε με το παλίο για φέτος.

Αυτό έχει δύο μόνο κουμπιά. Ένα κουμπί ''Α'' για να σας πάει στο επόμενο κομμάτι

(αν βρίσκεστε στο τελευταίο τότε σας πάει στο πρώτο) και ένα ''Β'' που πατώντας το σας πάει

σε ένα από τα τραγούδια του CD στην τύχη. Βάζετε λοιπόν το CD στην υποδοχή και το πρώτο κομμάτι επιλέγετε

από το στερεοφωνικό στην τύχη. Αγαπημένο σας κομμάτι είναι το υπ'αριθμόν 42.

Εννοείτε ότι ανυπομονείτε να φτάσετε σε αυτό για να το απολαύσετε.

Τι στρατηγική θα ακολουθήσετε για να το πετύχετε;



Λέξεις Κλειδιά:
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5486
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Δεκ 25, 2019 5:38 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 4:35 pm
Ο Άγιος Βασίλης σας θυμήθηκε και φέτος!

Σας έφερε το αγαπημένο σας CD με τα 100 καλύτερα χριστουγεννιάτικα και πρωτοχρονιάτικα τραγούδια!

Ξεχάσατε όμως να του ζητήσετε και ένα σύγχρονο στερεοφωνικό οπότε θα βολευτείτε με το παλίο για φέτος.

Αυτό έχει δύο μόνο κουμπιά. Ένα κουμπί ''Α'' για να σας πάει στο επόμενο κομμάτι

(αν βρίσκεστε στο τελευταίο τότε σας πάει στο πρώτο) και ένα ''Β'' που πατώντας το σας πάει

σε ένα από τα τραγούδια του CD στην τύχη. Βάζετε λοιπόν το CD στην υποδοχή και το πρώτο κομμάτι επιλέγετε

από το στερεοφωνικό στην τύχη. Αγαπημένο σας κομμάτι είναι το υπ'αριθμόν 42.

Εννοείτε ότι ανυπομονείτε να φτάσετε σε αυτό για να το απολαύσετε.

Τι στρατηγική θα ακολουθήσετε για να το πετύχετε;
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ Λάμπρο και σε όλη την παρέα !

Θα δούμε άλλη στιγμή και το ωραίο αυτό πρόβλημα !

Πάντως, για την ώρα, θα τα έβαζα όλα να παίζουν με τη σειρά και θα ... το έριχνα στην ξάπλα, γιατί έχω από πρωί με τα ποσοστά !


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8549
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 28, 2019 4:07 pm

Ας γράψουμε T για το αναμενόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε μέχρι να φτάσουμε στο τραγούδι μας ακολουθώντας τη βέλτιστη στρατηγική. Επίσης ας γράψουμε T_i για το αναμενόμενο πλήθος όταν ακούσουμε το τραγούδι i.

Είναι T = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}. Όταν ακούσουμε το τραγούδι i, είτε θα επιλέξουμε να πάμε στο επόμενο είτε θα πάμε σε κάποιο τυχαίο. Στην πρώτη περίπτωση ο αναμενόμενος χρόνος θα ήταν 1 + T_{i+1} (όπου T_{101} = T_1) και στη δεύτερη θα ήταν 1+\frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}=T. Ασφαλώς στη βέλτιστη στρατηγική επιλέγουμε αυτό που δίνει τον μικρότερο χρόνο. Άρα έχουμε \displaystyle  T_{i} = \min\{1+T_{i+1},T\}. Ασφαλώς έχουμε και T_{42} = 0.

Πρέπει λοιπόν να υπάρχει φυσικός m ώστε T_{42-k} = k για k = 0,1,2,\ldots,m και T_{42-k} = T όπου m \leqslant T < m+1 για k > m. (Οι δείκτες modulo 100).

Όμως \displaystyle  Τ = 1 + \frac{1+2+\cdots + m + (99-m)T}{100} που δίνει (2+2m)T = 200 + m(m+1). Από τη συνθήκη T \geqslant m παίρνουμε m^2 + m \leqslant 200 που δίνει m \leqslant 13. Η συνθήκη T \leqslant m+1 καταλήγει στο m \geqslant 13 οπότε εν τέλει m=13.

Το προσδοκόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε είναι T = \frac{100}{m+1}+\frac{m}{2} = 13\tfrac{9}{14} και η στρατηγική είναι να επιλέγουμε τυχαίο τραγούδι εκτός και αν ακούσουμε ένα από τα τραγούδια 29,30,\ldots,41 οπότε και επιλέγουμε το επόμενο τραγούδι.

Σημείωση: Θεώρησα ότι όλα τα τραγούδια έχουν την ίδια διάρκεια.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Δεκ 28, 2019 4:48 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Δεκ 28, 2019 4:07 pm
Ας γράψουμε T για το αναμενόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε μέχρι να φτάσουμε στο τραγούδι μας ακολουθώντας τη βέλτιστη στρατηγική. Επίσης ας γράψουμε T_i για το αναμενόμενο πλήθος όταν ακούσουμε το τραγούδι i.

Είναι T = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}. Όταν ακούσουμε το τραγούδι i, είτε θα επιλέξουμε να πάμε στο επόμενο είτε θα πάμε σε κάποιο τυχαίο. Στην πρώτη περίπτωση ο αναμενόμενος χρόνος θα ήταν 1 + T_{i+1} (όπου T_{101} = T_1) και στη δεύτερη θα ήταν 1+\frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}=T. Ασφαλώς στη βέλτιστη στρατηγική επιλέγουμε αυτό που δίνει τον μικρότερο χρόνο. Άρα έχουμε \displaystyle  T_{i} = \min\{1+T_{i+1},T\}. Ασφαλώς έχουμε και T_{42} = 0.

Πρέπει λοιπόν να υπάρχει φυσικός m ώστε T_{42-k} = k για k = 0,1,2,\ldots,m και T_{42-k} = T όπου m \leqslant T < m+1 για k > m. (Οι δείκτες modulo 100).

Όμως \displaystyle  Τ = 1 + \frac{1+2+\cdots + m + (99-m)T}{100} που δίνει (2+2m)T = 200 + m(m+1). Από τη συνθήκη T \geqslant m παίρνουμε m^2 + m \leqslant 200 που δίνει m \leqslant 13. Η συνθήκη T \leqslant m+1 καταλήγει στο m \geqslant 13 οπότε εν τέλει m=13.

Το προσδοκόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε είναι T = \frac{100}{m+1}+\frac{m}{2} = 13\tfrac{9}{14} και η στρατηγική είναι να επιλέγουμε τυχαίο τραγούδι εκτός και αν ακούσουμε ένα από τα τραγούδια 29,30,\ldots,41 οπότε και επιλέγουμε το επόμενο τραγούδι.

Σημείωση: Θεώρησα ότι όλα τα τραγούδια έχουν την ίδια διάρκεια.
:clap2: Καταπληκτικός! Δεν έχετε αφήσει τίποτα άλυτο!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης