Ολοκλήρωματα

mick7 · #1

Να υπολογιστούν

a) $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} log(sinx+\sqrt{1+sin^{2}x})dx$

b) $\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx$

Tolaso J Kos · #2

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 6:44 am
Να υπολογιστούν

a) $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} log(sinx+\sqrt{1+sin^{2}x})dx$

Έστω

περιττή περιοδική συνάρτηση με περίοδο $\mathrm{T}=2\pi$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \ln \left(f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right)\;\mathrm{d}x&=\int_{-\pi}^{\pi}\ln \left(f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right) \;\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\pi}^{0}\ln \left(f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right) \; \mathrm{d}x +\int_{0}^{\pi}\ln \left(f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right)\; \mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\pi}\ln \left(-f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right) \; \mathrm{d}x +\int_{0}^{\pi}\ln \left(f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right) \; \mathrm{d}x\\ &=\int_0^{\pi}\left(\ln (-f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right)+\ln \left(f(x) +\sqrt{1+f^2(x)}\right) \; \mathrm{d}x\\ &=\int_0^{\pi}\ln 1 \mathrm{d}x\\ &=0 \end{aligned}}$
Τώρα για $f(x)=\sin x$ το αποτέλεσμα έπεται.

Tolaso J Kos · #3

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 6:44 am
Να υπολογιστούν

a) $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} log(sinx+\sqrt{1+sin^{2}x})dx$

Μία άλλη λύση ...

Θυμόμαστε ότι $\sinh^{-1}x =\ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \; , \; x \in \mathbb{R}$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \sinh^{-1} \sin x\ \mathrm{d}x &= \int_0^{\pi} \sinh ^{-1} \sin x \ \mathrm{d}x + \int_{\pi}^{2\pi} \sinh^{-1} \sin x \ \mathrm{d}x \\ &= \int_0^{\pi} \sinh ^{-1} \sin x \ \mathrm{d}x+ \int_0^{\pi} \sinh ^{-1} \sin (x+\pi) \ \mathrm{d}x \\ &= \int_0^{\pi} \sinh ^{-1} \sin x \ \mathrm{d}x - \int_0^{\pi} \sinh ^{-1} \sin x \ \mathrm{d}x \\ &=0 \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #4

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 6:44 am
Να υπολογιστούν

b) $\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx$

Δε βρήκα κάτι καλύτερο.. από το παρακάτω.

Ως γνωστόν είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin^n x &= \frac{1}{2^n} \left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )^n \\ &=\frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \binom{n}{k} e^{ikx} e^{-i(n-k)x} \\ &=\frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} \cos \left ( (2k-n)x \right ) \end{aligned}}$
Τότε,
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2020\pi} \sin^{2019}x\, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2^{2019}}\int_{0}^{2020\pi} \sum_{k=0}^{2019} (-1)^{2019-k} \binom{2019}{k} \cos \left ( (2k-2019)x \right ) \, \mathrm{d} x\\ &=\frac{1}{2^{2019}} \sum_{k=0}^{2019} (-1)^{2019-k} \binom{2019}{k} \int_{0}^{2020 \pi} \cos \left ( (2k -2019)x \right )\, \mathrm{d} x\\ &= \frac{1}{2^{2019}} \sum_{k=0}^{2019} (-1)^{2019-k} \binom{2019}{k} \frac{\sin \left ( 2020\pi (2k -2019) \right )}{2k-2019} \end{aligned}}$

Να ζήσουμε να το θυμόμαστε!!

Tolaso J Kos · #5

Και μία παρατήρηση. Συνήθως ζητάμε να βρούμε το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_\alpha^\beta g(x) \sin^n x \, \mathrm{d}x}$
όπου

συνεχής και $\alpha<\beta$ . Το όριο κάνει

. (Συνήθως το DCT είναι αρκετό. )

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 8:44 am

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 6:44 am
Να υπολογιστούν

b) $\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx$

Δε βρήκα κάτι καλύτερο.. από το παρακάτω.

Ως γνωστόν είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin^n x &= \frac{1}{2^n} \left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )^n \\ &=\frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \binom{n}{k} e^{ikx} e^{-i(n-k)x} \\ &=\frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} \cos \left ( (2k-n)x \right ) \end{aligned}}$
Τότε,
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2020\pi} \sin^{2019}x\, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2^{2019}}\int_{0}^{2020\pi} \sum_{k=0}^{2019} (-1)^{2019-k} \binom{2019}{k} \cos \left ( (2k-2019)x \right ) \, \mathrm{d} x\\ &=\frac{1}{2^{2019}} \sum_{k=0}^{2019} (-1)^{2019-k} \binom{2019}{k} \int_{0}^{2020 \pi} \cos \left ( (2k -2019)x \right )\, \mathrm{d} x\\ &= \frac{1}{2^{2019}} \sum_{k=0}^{2019} (-1)^{2019-k} \binom{2019}{k} \frac{\sin \left ( 2020\pi (2k -2019) \right )}{2k-2019} \end{aligned}}$

Να ζήσουμε να το θυμόμαστε!!

Στα παραπάνω υπάρχουν αρκετά λάθη (τυπογραφικά ; )
π,χ
το
$\displaystyle \sin^n x = \frac{1}{2^n} \left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )^n$
είναι
$\displaystyle \sin^n x = \frac{1}{(2i)^n} \left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )^n$

Στην ουσία

$\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx=0$

γιατί ;

Christos.N · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 4:33 pm
Στην ουσία

$\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx=0$

γιατί ;

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} sin^{2019}xdx \overset{x=y+\pi}{=}\displaystyle -\int_{-\pi}^{\pi} sin^{2019}ydy=0$ καθώς $\sin^{2019}y$ περιττή συνάρτηση.

τέλος ανάλογα, $\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} sin^{2019}xdx+\displaystyle \int_{2\pi}^{4\pi} sin^{2019}xdx+...=0$

Τώρα που το ξαναείδα πολλά έγραψα πριν.
$x=y+1010\pi$

$\displaystyle \int_{0}^{2020\pi} sin^{2019}xdx =\displaystyle \int_{-1010\pi}^{1010\pi} sin^{2019}ydy=0$

Ολοκλήρωματα

Ολοκλήρωματα

Re: Ολοκλήρωματα

Re: Ολοκλήρωματα

Re: Ολοκλήρωματα

Re: Ολοκλήρωματα

Re: Ολοκλήρωματα

Re: Ολοκλήρωματα

Μέλη σε σύνδεση