Παραγωγική και προοδευτική

KARKAR · #1

: Παραγωγική και προοδευτική.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=x+\sqrt{x^2+a}$ , με a>1

. Βρείτε τις f'(x) , f''(x)

.

Δείξτε ότι οι τεταγμένες των σημείων A,B,C

, της τομής των γραφικών τους παραστάσεων

με τον άξονα y'y

, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Αν a=16

και ευθεία x=k , k>0

, τέμνει τις τρεις καμπύλες στα σημεία A' , B' , C'

, υπάρχει

περίπτωση να προκύψει : $\dfrac{B'C'}{B'A'}=\dfrac{BC}{BA}$ ; Αν απαντήσετε ναι , βρείτε ( στο περίπου ! ) την τιμή του

.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

thepigod762 · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 10, 2019 12:59 pm
Παραγωγική και προοδευτική.pngΔίνεται η συνάρτηση : $f(x)=x+\sqrt{x^2+a}$ , με . Βρείτε τις .

Δείξτε ότι οι τεταγμένες των σημείων , της τομής των γραφικών τους παραστάσεων

με τον άξονα , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Αν και ευθεία , τέμνει τις τρεις καμπύλες στα σημεία , υπάρχει

περίπτωση να προκύψει : $\dfrac{B'C'}{B'A'}=\dfrac{BC}{BA}$ ; Αν απαντήσετε ναι , βρείτε ( στο περίπου ! ) την τιμή του .

Είναι
$f'(x)=1+\dfrac{1}{2}(x^2+a)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2+a)'=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+a}}\cdot 2x=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}$

και

$f''(x)=f'(x)=\dfrac{(x)'\sqrt{x^2+a}-(\sqrt{x^2+a})'x}{x^2+a}=\dfrac{\sqrt{x^2+a}-\frac{1}{2}(x^2+a)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2+a)'}{x^2+a}=\dfrac{\sqrt{x^2+a}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}}{x^2+a}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}-\dfrac{x^2}{(x^2+a)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{a}{(x^2+a)^{\frac{3}{2}}}$

Όταν οι γραφικές παραστάσεις διέρχονται από τον άξονα yy'

θα ισχύει:

$f(0)=\sqrt{a}, f'(0)=1+\dfrac{0}{\sqrt{a}}=1, f''(0)=\dfrac{a}{a^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}$

Είναι $1^2=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{a}\Leftrightarrow (f'(0))^{2}=f''(0)f(0)$ , οπότε οι τεταγμένες αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

Οι τεταγμένες των C',B',A'

θα είναι αντίστοιχα:

$f(\kappa )=\kappa +\sqrt{\kappa ^2+16},f'(\kappa )=1+\dfrac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}},f''(x)=\dfrac{16}{(\kappa^2+16)^{\frac{3}{2}}}$

Οπότε τα μέτρα των τμημάτων θα είναι:

$B'C'=\kappa+\sqrt{\kappa^2+16}-1-\dfrac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}},A'B'=1+\dfrac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}}-\dfrac{16}{(\kappa^2+16)^{\frac{3}{2}}}$

Δεδομένου ότι $BC=3,AB=\dfrac{3}{4}$ η ισότητα των λόγων δίνει:

$\dfrac{\kappa+\sqrt{\kappa^2+16}-1-\frac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}}}{1+\dfrac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}}-\dfrac{16}{(\kappa^2+16)^{\frac{3}{2}}}}=4$

Αν πράγματι είναι αυτό, πιστεύω πως θα βγει με λογισμικό. (δεν το πιάνω στα χέρια μου

)

KARKAR · #4

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 09, 2022 3:53 pm

$\dfrac{\kappa+\sqrt{\kappa^2+16}-1-\frac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}}}{1+\dfrac{\kappa}{\sqrt{\kappa^2+16}}-\dfrac{16}{(\kappa^2+16)^{\frac{3}{2}}}}=4$

Αν πράγματι είναι αυτό, πιστεύω πως θα βγει με λογισμικό. ( δεν το πιάνω στα χέρια μου )

Γιώργο όλα σωστά

Το κλάσμα είναι συνεχής συνάρτηση του

. Είναι απλό να βρούμε ότι για : k=3

, η τιμή του κλάσματος είναι :

$\dfrac{100}{23} \simeq 4.35 >4$ . Δυσκολότερα θα βρούμε ότι για k=2

, η τιμή του κλάσματος είναι περίπου 3.96<4

.

Συνεπώς , ναι υπάρχει τιμή του

, ( πλην φυσικά της k=0

) , που αποδίδει στο κλάσμα την τιμή

.

Το περίπου δείχνει μια τιμή λίγο πάνω από

, ( το λογισμικό δίνει : $k\simeq 2.13163$ ) .

Παραγωγική και προοδευτική

Παραγωγική και προοδευτική

Re: Παραγωγική και προοδευτική

Re: Παραγωγική και προοδευτική

Re: Παραγωγική και προοδευτική

Μέλη σε σύνδεση