mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 01, 2019 12:14 pm**

: Σημείο επαφής.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Να βρεθεί ο θετικός

, για τον οποίο η εξίσωση : $e^{\frac{x}{a}}=ln(ax)$ , έχει μοναδική λύση .

( Ο εκθέτης είναι : $\dfrac{x}{a}$ ) . Λογικά εδώ επιτρέπεται "λελογισμένη" χρήση λογισμικού .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 02, 2019 10:58 am**

Μου θυμίζει αυτό

Ο μόνος τρόπος να έχουν οι δύο συναρτήσεις ένα και μόνο σημείο επαφής είναι να εφάπτονται αλλήλων στο κοινό τους σημείο. Από τις ισότητες τεταγμένης και κλίσης λαμβάνουμε αντίστοιχα τις εξισώσεις $e^{x_0/a}=ln(ax_0)$ και $\dfrac{1}{a}e^{x_0/a}=\dfrac{1}{a}$ , όπου x_0

η τετμημένη του σημείου επαφής. Από την δεύτερη εξίσωση λαμβάνουμε $(x_0/a)e^{x_0/a}=1$ και $\dfrac{x_0}{a}\approx 0,567$ (με "λελογισμένη" χρήση λογισμικού). Αντικαθιστώντας στην πρώτη λαμβάνουμε $e^{0,567}\approx ln(0,567a^2)$ και $a\approx \sqrt{\dfrac{e^{e^0,567}}{0,567}}\approx 3,206$ . Η τετμημένη του σημείου επαφής είναι η $x_0\approx 0,567a\approx 1,818$ .

: el.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 02, 2019 11:06 am**

$f(x)=g(x) \overset{x=ay}{\Leftrightarrow}h(y):=e^y-lny=lna^2 \overset{lna^2=b}{\Leftrightarrow}h(y)=b$

$h'(y)=e^y-\frac{1}{y}\Rightarrow h''(y)=e^y+\frac{1}{y^2}>0$ άρα $h'(y)\nearrow$ όπου $lim_{y\rightarrow0^+}h'(y)=-\infty,~lim_{y\rightarrow +\infty}h'(y)=+\infty$

συνεπώς υπάρχει ακριβώς ένα y_0:h'(y_0)=0

ισχύει ότι $h'(y)<0 \Leftrightarrow y<y_0,~~ h'(y)>0 \Leftrightarrow y>y_0$

και $lim_{y\rightarrow0^+}h(y)=+\infty=lim_{y\rightarrow +\infty}h(y)$ άρα $h\left(\left(0,+\infty\right)=\left[h(y_0),+\infty\right)\right)$ .

Αν b> h(y_0)

τότε η εξίσωση h(y)=b

έχει δύο λύσεις ,ενώ αν b= h(y_0)

μοναδική.

Άρα $h(y_0)=b \Leftrightarrow b=e^y_0-lny_0 _{/e^y_0-\frac{1}{y_0}=0}$

Με λελογισμένη χρήση λογισμικού βρίσκουμε ότι $e^y_0-\frac{1}{y_0}=0 \Rightarrow y_0\simeq 0.567$

τελικά $a=e^{\frac{b}{2}}\simeq 3.2$

mathematica.gr

Σημείο επαφής

Σημείο επαφής

Re: Σημείο επαφής

Re: Σημείο επαφής