Σημείο επαφής

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σημείο επαφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 01, 2019 12:14 pm

Σημείο  επαφής.png
Σημείο επαφής.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Να βρεθεί ο θετικός a , για τον οποίο η εξίσωση : e^{\frac{x}{a}}=ln(ax) , έχει μοναδική λύση .

( Ο εκθέτης είναι : \dfrac{x}{a} ) . Λογικά εδώ επιτρέπεται "λελογισμένη" χρήση λογισμικού .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Σημείο επαφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Δεκ 02, 2019 10:58 am

Μου θυμίζει αυτό :) Ο μόνος τρόπος να έχουν οι δύο συναρτήσεις ένα και μόνο σημείο επαφής είναι να εφάπτονται αλλήλων στο κοινό τους σημείο. Από τις ισότητες τεταγμένης και κλίσης λαμβάνουμε αντίστοιχα τις εξισώσεις e^{x_0/a}=ln(ax_0) και \dfrac{1}{a}e^{x_0/a}=\dfrac{1}{a}, όπου x_0 η τετμημένη του σημείου επαφής. Από την δεύτερη εξίσωση λαμβάνουμε (x_0/a)e^{x_0/a}=1 και \dfrac{x_0}{a}\approx 0,567 (με "λελογισμένη" χρήση λογισμικού). Αντικαθιστώντας στην πρώτη λαμβάνουμε e^{0,567}\approx ln(0,567a^2) και a\approx \sqrt{\dfrac{e^{e^0,567}}{0,567}}\approx 3,206. Η τετμημένη του σημείου επαφής είναι η x_0\approx 0,567a\approx 1,818.


el.png
el.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σημείο επαφής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Δεκ 02, 2019 11:06 am

f(x)=g(x) \overset{x=ay}{\Leftrightarrow}h(y):=e^y-lny=lna^2 \overset{lna^2=b}{\Leftrightarrow}h(y)=b

h'(y)=e^y-\frac{1}{y}\Rightarrow h''(y)=e^y+\frac{1}{y^2}>0 άρα h'(y)\nearrow όπου lim_{y\rightarrow0^+}h'(y)=-\infty,~lim_{y\rightarrow +\infty}h'(y)=+\infty

συνεπώς υπάρχει ακριβώς ένα y_0:h'(y_0)=0 ισχύει ότι h'(y)<0 \Leftrightarrow y<y_0,~~ h'(y)>0 \Leftrightarrow y>y_0

και lim_{y\rightarrow0^+}h(y)=+\infty=lim_{y\rightarrow +\infty}h(y) άρα h\left(\left(0,+\infty\right)=\left[h(y_0),+\infty\right)\right).

Αν b> h(y_0) τότε η εξίσωση h(y)=b έχει δύο λύσεις ,ενώ αν b= h(y_0) μοναδική.

Άρα h(y_0)=b \Leftrightarrow b=e^y_0-lny_0 _{/e^y_0-\frac{1}{y_0}=0}

Με λελογισμένη χρήση λογισμικού βρίσκουμε ότι e^y_0-\frac{1}{y_0}=0 \Rightarrow y_0\simeq 0.567

τελικά a=e^{\frac{b}{2}}\simeq 3.2


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης