Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD

του σχήματος ;

Δεκτές μόνο ολοκληρωμένες λύσεις , δηλαδή με αριθμητικό αποτέλεσμα !

Αποδείξτε την "εντιμότητα" της λύσης σας , εξηγώντας την κατασκευή σας .

#2

Από τον τύπο του εμβαδού

$\displaystyle E = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd{{\cos }^2}\frac{{A + C}}{2}}$ προκύπτει ότι το μέγιστο εμβαδόν το έχει το εγγράψιμμο, δηλαδή όταν $\displaystyle A + C = {180^o}$ .

Τότε $\displaystyle E = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} = \sqrt {10 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 6} = 90$ .

Τώρα σχετικά με την κατασκευή, τηρώντας την προτροπή περί εντιμότητας, οφείλω να αναφέρω ότι ξεπερνά τις γεωμετρικές μου γνώσεις.

Θυμάμαι απλά, ότι παλαιότερα είχα θέσει το γενικότερο πρόβλημα, είχε απαντήσει ο Μιχάλης Λάμπρου και ο Θανάσης είχε δώσει μια πολύ ενδιαφέρουσα παραπομπή στην ιστοσελίδα του Πάρι Πάμφιλου που περιγράφει τη διαδικασία της κατασκευής. Για να περιγράψω την κατασκευή, επειδή δεν τη θυμάμαι, θα έπρεπε να ανατρέξω στην σελίδα και να την αντιγράψω κάτι που δεν το θέλω και δεν μάς αρμόζει.

Αν δεν εντοπίσει κάποιος τη συζήτηση, θα την αναζητήσω εν ευθέτω χρόνω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λόγω της απάντησης του Γιώργου αφού το τετράπλευρο θα είναι εγγράψιμμο
εφαρμόζοντας τα δυο θεωρήματα του Πτολεμαίου
υπολογίζουμε τις διαγώνιες AC,BD

και μετά όλα είναι εύκολα.
Τέτοια ώρα η χειρότερη διασκέδαση είναι να κάνεις πράξεις.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ σε όλους! Υποβάλλω το σχήμα , θ' ακολουθήσει η αιτιολόγηση της κατασκευής..

: Μέγιστο εμβαδόν KARKAR.PNG (11.28 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές

Για το εγγράψιμο ABCD

ισχύει

. Βρίσκουμε (*) δύο εκφράσεις για το $BD^{2}$ με τη βοήθεια του Ν.Συνημιτόνων :
Στο τρίγωνο ABD

είναι $BD^{2}=5^{2}+11^{2}-2\cdot 5\cdot 11cosA$

ενώ στο BCD

είναι $BD^{2}=10^{2}+14^{2}-2\cdot 10\cdot 14cosC=10^{2}+14^{2}+2\cdot 10\cdot 14cosA$ .
Εξισώνοντας προκύπτει $cosA=-\dfrac{5}{13}$ .

Η κατασκευή λοιπόν ξεκινά με το τρίγωνο ABE

της Πυθαγόρειας τριάδας $\left ( 5,12,13 \right )$ και η συνέχεια είναι φανερή.

(*) Για την <<εντιμότητα>> του πράγματος πρέπει να πω ότι την ως άνω ιδέα -που μου άρεσε ασφαλώς- την είδα να την προβάλει παλαιότερα
ο ..

..Θώς των Αγράφων , δηλ ο θεματοθέτης και του παρόντος!! Φιλικά , Γιώργος.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 8:10 pm
Μέγιστο εμβαδόν.pngΠοιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου του σχήματος ;

Δεκτές μόνο ολοκληρωμένες λύσεις , δηλαδή με αριθμητικό αποτέλεσμα !

Αποδείξτε την "εντιμότητα" της λύσης σας , εξηγώντας την κατασκευή σας .

Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και δίνω την κατασκευή του.

: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.Κ.png (24.21 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές

Προεκτείνω το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle CD = 14$ κατά $\displaystyle DT = \frac{{AD \cdot BC}}{{AB}} = 22.$ Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο που τα

σημεία του απέχουν από τα C, T

λόγο $\displaystyle \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{5}{{11}}.$ Ο κύκλος $\displaystyle (D,11)$ τέμνει τον Απολλώνιο στο

και ο κύκλος

(A, 5)

τέμνει τον περίκυκλο του ACD

στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Η παραπάνω κατασκευή γίνεται για οποιοδήποτε εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές a, b, c, d

και είναι γνωστή ως

θεώρημα του $\color{red}\rm{Sturm}.$ Εύκολα τώρα με $\color{blue} {\rm{Brahmagupta}},$ $\boxed{(ABCD)=90}$

#6

Για το ιστορικό του θέματος .

: μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.png (20.27 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές

Επειδή ${11^2} - {5^2} = {14^2} - {10^2} = 96$ ( συνθήκη καθετότητας) θα είναι $AC \bot BD$ .

Αν λοιπόν υπολογίσουμε το : $\left( {ABCD} \right)$ αυτό θα είναι και το μέγιστο δυνατόν εμβαδόν.

Αλλά για κάθε τετράπλευρο με σταθερές πλευρές υπάρχει ισοδύναμο εγγράψιμο τετράπλευρο με τις ίδιες πλευρές

( Γεωμετρία Σπύρου Κανέλλου έκδοση 1977- παλιό σχολικό- παράγραφος 134)

Έτσι όπως έγραψε και ο Γιώργος Ρίζος:

$\left( {ABCD} \right) = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} \, = 90\,\,\,,2s = a + b + c + d$

#7

Καλησπέρα σε όλους. Τελικά ήταν άφθονες και πλουσιότατες οι συζητήσεις σχετικά με το θέμα. Παραθέτω κάποιες παλαιότερες συζητήσεις. (Κάποιες αλληλοσυνδέονται)

ΕΔΩ, Απρίλιος 2011

ΕΔΩ, Ιούλιος 2011

ΕΔΩ, Αύγουστος 2011

ΕΔΩ, Ιανουάριος 2012

ΕΔΩ, Μάιος 2016

#8

άλλος υπολογισμός

: μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου_1.png (24.13 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη που τέμνει την

στο

και άρα ( μετασχηματισμός τετραπλεύρου σε ισοδύναμο τρίγωνο)

$\left( {ABCD} \right) = \left( {FBC} \right)$ . Αν $FT \bot BD$ θα είναι :

$2\left( {ABCD} \right) = 2\left( {FBC} \right) \Leftrightarrow AC \cdot BD = 10FT$

. Αλλά από Θ Πτολεμαίου $AC \cdot BD = 14 \cdot 5 + 11 \cdot 10 = 180$ άρα FT = 18

και $\left( {ABCD} \right) = 90$

KARKAR · #9

Ωραία πράματα ! Αλλά γιατί διασκεδαστικά ;

: Μέγιστο εμβαδόν.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

Θέτοντας : BS=x

, άμεσα παίρνουμε : $z=\sqrt{25-x^2}$ και $t=\sqrt{100-x^2}$

Ακόμη επειδή : y^2=121-z^2=121-(25-x^2})

, είναι τελικά : $y=\sqrt{96+x^2}$ .

Συνεπώς : $E(x)=\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{96+x^2})(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{100-x^2})$ . Ποιο είναι το μέγιστο

αυτού του εμβαδού ; Θα είχε κανείς το κουράγιο , να το βρει με χρήση παραγώγων ; Δεν νομίζω

Τέλος πάντων , μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του περικύκλου του τετραπλεύρου ;

Επειδή συζητήθηκε , δίνω και την προτεινόμενη αρχική ανάρτηση με τις παραπομπές .

Παράπονο : Το χρώμα του συνδέσμου είναι πολύ δυσδιάκριτο

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2019 8:05 pm
Ωραία πράματα ! Αλλά γιατί διασκεδαστικά ;Μέγιστο εμβαδόν.png

Θέτοντας : , άμεσα παίρνουμε : $z=\sqrt{25-x^2}$ και $t=\sqrt{100-x^2}$

Ακόμη επειδή : , είναι τελικά : $y=\sqrt{96+x^2}$ .

Συνεπώς : $E(x)=\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{96+x^2})(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{100-x^2})$ . Ποιο είναι το μέγιστο

αυτού του εμβαδού ; Θα είχε κανείς το κουράγιο , να το βρει με χρήση παραγώγων ; Δεν νομίζω

Τέλος πάντων , μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του περικύκλου του τετραπλεύρου ;

Επειδή συζητήθηκε , δίνω και την προτεινόμενη αρχική ανάρτηση με τις παραπομπές .

Παράπονο : Το χρώμα του συνδέσμου είναι πολύ δυσδιάκριτο

Προς τον φίλτατο Θανάση ( Ο θεός να σε έχει καλά να μας βάζεις διασκεδαστικά " πράγματα"!)

α) το χρώμα ( και της όποιας παραπομπής) το καθορίζει έκαστος κατά τα γούστα του.

γ) Η ακτίνα δίδεται, συν τοις άλλοις, στην άσκηση του Σπ. Κανέλλου ( Παλιού σχολικού Α λυκείου, έκδοση 1977)

β) Πιο πάνω όταν είναι ( όπως εδώ κάθετες οι διαγώνιοι ) η ακριβώς πιο πάνω-ημετέρα- λύση, σε καλύπτει?

Φιλικά Νίκος

Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση