Τριγωνομετρικό άρωμα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11111
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριγωνομετρικό άρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:00 am

Λύστε ( στο \mathbb{R} ) , το σύστημα : \left\{\begin{matrix}
x+y & =4\\ 
 x^5+y^5&=724 
\end{matrix}\right

Μην το βλέπετε ως "μη διασκεδαστικό" , μπορεί άνετα να γίνει !



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11743
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:28 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:00 am
Λύστε ( στο \mathbb{R} ) , το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x+y & =4\\  
 x^5+y^5&=724  
\end{matrix}\right
\displaystyle{300=4^5-724=(x+y)^5-(x^5+y^5) = 5xy(x+y) (x^2+xy+y^2)= 20xy((x+y)^2-xy)= 20xy(16-xy)}

Άρα \displaystyle{ xy(16-xy)=15} δηλαδή \displaystyle{(xy-15)(xy-1)=0}.

Έτσι xy=1 ή xy=15, που μαζί με την x+y=4 δίνει εύκολα τις ρίζες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8662
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 17, 2019 9:09 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:00 am
Λύστε ( στο \mathbb{R} ) , το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x+y & =4\\  
 x^5+y^5&=724  
\end{matrix}\right

Μην το βλέπετε ως "μη διασκεδαστικό" , μπορεί άνετα να γίνει !
Θέτω x=2+a, y=2-a.

\displaystyle {(2 + a)^5} + {(2 - a)^5} = 724 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {a^4} + 8{a^2} - 33 = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 3 και \displaystyle a =  \pm \sqrt 3

Έτσι \displaystyle x = 2 + \sqrt 3 ,y = 2 - \sqrt 3 (ή και αντίστροφα) και για να δικαιολογήσουμε τον τίτλο \displaystyle x = \tan 75^\circ ,y = \tan 15^\circ


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11111
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 17, 2019 7:32 pm

Η λύση του Μιχάλη πανέμορφη :clap2: . Η λύση του Γιώργου είναι "πατέντα" , έχει όμως ξαναεμφανισθεί

στο forum , τουλάχιστον μία φορά εδώ . Αυτήν είχα κατά νου . Το τριγωνομετρικό άρωμα

είναι περίπου αυτό του Γιώργου : \tan15^0=2-\sqrt{3} , \cot15^0=2+\sqrt{3} .

Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίστροφοι φυσικά . "Διαβλέποντας" το γεγονός αυτό , το σύστημα γίνεται :

\left\{\begin{matrix}
x+\dfrac{1}{x} & =4\\ 
 & \\ 
 x^5+\dfrac{1}{x^5}&=724 
\end{matrix}\right . Αλλά :  x^5+\dfrac{1}{x^5}=(x+\dfrac{1}{x})^5-5(x+\dfrac{1}{x})^3+5(x+\dfrac{1}{x}) ,

( ας μάθουμε μια ωραία ταυτότητα ! ) , οπότε με : x+\dfrac{1}{x}=t , η εξίσωση είναι η :

t^5-5t^3+5t-724=0 , η οποία όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει και από εδώ

έχει μοναδική ρίζα την t=4 , δηλαδή : x+\dfrac{1}{x}=4 , ή : x=2-\sqrt{3} , y= 2+\sqrt{3} .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8662
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 18, 2019 8:14 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 17, 2019 7:32 pm
...οπότε με : x+\dfrac{1}{x}=t , η εξίσωση είναι η :

t^5-5t^3+5t-724=0 , η οποία όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει και από εδώ

έχει μοναδική ρίζα την t=4 , δηλαδή : x+\dfrac{1}{x}=4 , ή : x=2-\sqrt{3} , y= 2+\sqrt{3} .
:coolspeak: Ήμουν σίγουρος ότι οι δύο ασκήσεις σχετίζονταν (λόγω του x^5 και του 724), αλλά δεν μπόρεσα να κάνω τη σύνδεση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης