Ώρα εφαπτομένης ( δίτροπο )

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11770
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης ( δίτροπο )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 10, 2019 8:34 am

Δίτροπο.png
Δίτροπο.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος υπολογίστε την \tan\omega . Προϋπόθεση για να αναρτήσετε

κάτι : Στην δημοσίευσή σας πρέπει να περιέχονται τουλάχιστον δύο διαφορετικές λύσεις .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης ( δίτροπο )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 10, 2019 9:47 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 8:34 am
Δίτροπο.pngΣτο παραλληλόγραμμο του σχήματος υπολογίστε την \tan\omega . Προϋπόθεση για να αναρτήσετε

κάτι : Στην δημοσίευσή σας πρέπει να περιέχονται τουλάχιστον δύο διαφορετικές λύσεις .
Έστω \displaystyle OA = BC = a,OC = AB = \frac{{OB}}{2} = b
Δίτροπο.png
Δίτροπο.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
\displaystyle 4{b^2} = {8^2} + {4^2} \Leftrightarrow b = 2\sqrt 5 και AH=2, a=6.

\displaystyle 2({a^2} + {b^2}) = O{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow 112 = 80 + A{C^2} \Leftrightarrow AC = 4\sqrt 2

1os τρόπος: \displaystyle B{M^2} = {b^2} - \frac{{A{C^2}}}{{16}} = 18 \Rightarrow BM = 3\sqrt 2 και \boxed{\tan \omega  = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 3}

2ος τρόπος: \displaystyle (OABC) = 6 \cdot 4 = 24 \Leftrightarrow \frac{{OB \cdot AC}}{2}\sin \omega  = 24 \Leftrightarrow \sin \omega  = \frac{3}{{\sqrt {10} }},\cos \omega  = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \boxed{\tan \omega  = 3}

3ος τρόπος:
Δίτροπο.b.png
Δίτροπο.b.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
\displaystyle \omega  + \varphi  = 135^\circ  \Leftrightarrow \frac{{\tan \omega  + 2}}{{1 - 2\tan \omega }} =  - 1 \Leftrightarrow \boxed{\tan \omega  = 3}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7427
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης ( δίτροπο )

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 13, 2019 12:44 pm

Ας είναι D η τομή της BC με τον κατακόρυφο άξονα και E,Z οι προβολές του K στις OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.

Προφανώς : D\left( {0,4} \right) , το Z είναι το μέσο του BD και άρα Z\left( {4,4} \right) \Rightarrow E(0,4).

α) Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα DOC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EOK είναι ίσα \left( {OC = OK,\,\,OD = OE} \right)

Το τετράπλευρο OEZC είναι χαρταετός , ενώ το τετράπλευρο OEZD προφανώς τετράγωνο.

Ο άξονας συμμετρίας OZ των δύο αυτών τετραπλεύρων τέμνει τις ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα

L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M και αν είναι MK = x θα είναι , MZ = ML = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OL = 2x.

\boxed{\tan \omega  = \frac{{OM}}{{MK}} = \frac{{3x}}{x} = 3}

Ωρα εφαπτομένης _δίτροπο_δύο λύσεις.png
Ωρα εφαπτομένης _δίτροπο_δύο λύσεις.png (23.65 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
β)

Η ευθεία OB έχει κλίση \boxed{{\lambda _1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}} , η ευθεία AC ως κάθετη στη διαγώνιο OZ ,

που έχει κλίση 1 , θα έχει κλίση \boxed{{\lambda _2} =  - 1}

Η εφαπτομένη της οξείας γωνίας \omega των δύο αυτών ευθειών είναι :

\boxed{\tan \omega  = \left| {\frac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _1}{\lambda _2}}}} \right| = \left| {\frac{{ - 1 - \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}} \right| = 3}

γ)
Ωρα εφαπτομένης _δίτροπο_a.png
Ωρα εφαπτομένης _δίτροπο_a.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Έστω το σημείο F(0, - 2) . Γράφω το κύκλο \left( {O,A,F} \right) που για κάθε σημείο του M\left( {x,y} \right) τα \overrightarrow {FM}  = \left( {x,y + 2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 6,y} \right) είναι κάθετα , οπότε:

x(x - 6) + y(y + 2) = 0, που επαληθεύεται από το K(4,2) γιατί :

4\left( {4 - 6} \right) + 2\left( {2 + 2} \right) = 0, άρα διέρχεται απ’ αυτό . Έτσι : \boxed{\tan \omega  = \frac{{OA}}{{OF}} = \frac{6}{2} = 3}


kfd
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης ( δίτροπο )

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Τετ Νοέμ 13, 2019 11:45 pm

1.Eίναι \displaystyle{\overrightarrow{KB}=\left ( 4,2 \right ),C\left ( c \right,4 ),KB^{2}=OC^{2}\Rightarrow c=2}.Επίσης \displaystyle{A\left ( \alpha ,0 \right ),OA=BC=6\Rightarrow \alpha =6}.Τότε \displaystyle{cos\omega =\frac{8-4}{\sqrt{160}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow tan^{2}\omega =\frac{1}{cos^{2}\omega }-1=9\Rightarrow tan\omega =3}.

2. \displaystyle{tan\angle AOC=2,tan\angle AOB=\frac{1}{2}\Rightarrow tan\angle COK=\frac{2-\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}}. Tότε \displaystyle{tan\omega =tan(90^{0}-\frac{\angle COK}{2})=\frac{1}{tan\frac{\angle COK}{2}}} με \displaystyle{tan\angle COK=\frac{2tan\frac{\angle COK}{2}}{1-tan^{2}\frac{\angle COK}{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow tan\frac{\angle COK}{2}=\frac{1}{3}} και \displaystyle{tan\omega =3}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης