Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Στην εικόνα φαίνονται δύο ακολουθίες (n=200)

από

(κορώνες) και

(γράμματα). Μια από τις δύο έχει προκύψει από τη ρίψη ενός αμερόληπτου κέρματος ενώ η άλλη από άνθρωπο που απλά του είπαμε να γράψει μια ακολουθία H,T.

Μπορείς να βρεις ποια ανήκει στον άνθρωπο;

#2

Και τις δυο κάποιος άνθρωπος τις έγραψε...

Δεν γράφτηκαν μονες τους!!

τυχαίο;;!

sokpanvas · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 12:05 am
Στην εικόνα φαίνονται δύο ακολουθίες από (κορώνες) και (γράμματα). Μια από τις δύο έχει προκύψει από τη ρίψη ενός αμερόληπτου κέρματος ενώ η άλλη από άνθρωπο που απλά του είπαμε να γράψει μια ακολουθία Μπορείς να βρεις ποια ανήκει στον άνθρωπο;

Η πρώτη είναι πραγματικά τυχαία

kkala · #4

Η ακολουθία που προκύπτει από το "αμερόληπτο" κέρμα θα περιείχε 50% Τ και 50% Η, αν το n ήταν άπειρο. Οι δύο ακολουθίες με n=200 περιέχουν:
ακολουθία 1: πλήθος Τ = 92, πλήθος Η = 108
ακολουθία 2: πλήθος Τ = 95, πλήθος Η = 105
συνεπώς η ακολουθία 2 είναι πλησιέστερα στο 50% Τ - 50% Η και άρα έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να είναι αυτή που προήλθε από το κέρμα, ενώ η ακολουθία 1 να προήλθε από άνθρωπο. Το αντίθετο δεν αποκλείεται (τουλάχιστο κατά τα παραπάνω), έχει όμως μικρότερη πιθανότητα.
Σημείωση: Πιθανόν να μπορούν να υπολογιστούν οι δύο παραπάνω πιθανότητες από κάποιον που έχει τις σχετικές γνώσεις στατιστικής.

1-11-2019: Η παραπάνω προσέγγιση αγνοεί τη διάταξη των Τ, Η στις δύο ακολουθίες και τούτο είναι λάθος. Βλέπε και ανάρτηση Νο 6 (Λάμπρος Κατσάπας).

#5

Ας δούμε τρία διαφορετικά τεστ που μπορούμε να κάνουμε:

1) Πλήθος

.

Η πρώτη ακολουθία έχει

αντί των αναμενόμενων 100

. Η πιθανότητα όμως να έχει

ή λιγότερα

ισούται με $\displaystyle \sum_{k=0}^{92} \binom{200}{k} \frac{1}{2^{200}} \approx 14.44\%$ Οπότε δεν είναι απίθανο μια τυχαία ακολουθία να έχει

ή λιγότερα

και δεν υπάρχουν ενδείξεις ότι η ακολουθία δεν είναι τυχαία.

Η δεύτερη ακολουθία έχει

και η πιθανότητα να έχει τόσα ή λιγότερα είναι $26.23\%$ οπότε ούτε αυτή απορρίπτεται.

2) Πλήθος εναλλαγών από

σε

και ανάποδα. Αναμένουμε 99.5

εναλλαγές. Η πρώτη έχει

εναλλαγές και η δεύτερη 104

. Με παρόμοιο τρόπο όπως στο (1) η πιθανότητα να έχουμε το πολύ

εναλλαγές είναι περίπου $0.53\%$ οπότε υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις ότι η πρώτη ακολουθία δεν είναι τυχαία. Η πιθανότητα μια ακολουθία να έχει τουλάχιστον 104

εναλλαγές είναι περίπου $28.54\%$ οπότε δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την τυχαιότητα της δεύτερης ακολουθίας.

3) Μέγιστο πλήθος από συνεχόμενα

.

Αν γράψουμε $a_{k,n}$ για την πιθανότητα να έχουμε σε

ρίψεις τουλάχιστον

συνεχόμενα

τότε έχουμε την αναδρομική σχέση

$\displaystyle a_{k,n} = \frac{1}{2^k} + \sum_{r=1}^{k} \frac{a_{k,n-r}}{2^r}$

Πράγματι η πιθανότητα το πρώτο

να εμφανιστεί στη θέση $r \leqslant k$ ισούται με 1/2^r

και σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να έχουμε

συνεχόμενα

ισούται με $a_{k,n-r}$ . Υπάρχει επίσης πιθανότητα 1/2^k

να μην εμφανιστεί

στις πρώτες

ρίψεις οπότε έχουμε σίγουρα

συνεχόμενα

.

Χρησιμοποιώντας υπολογιστικό πακέτο βρήκα τα εξής για το μέγιστο πλήθος συνεχόμενων

:

Λιγότερα από

: Πιθανότητα περίπου $3.41\%$
Ακριβώς

: Πιθανότητα περίπου $16.50\%$
Ακριβώς

: Πιθανότητα περίπου $25.72\%$
Ακριβώς

: Πιθανότητα περίπου $22.40\%$
Ακριβώς

: Πιθανότητα περίπου $14.65\%$
Τουλάχιστον

: Πιθανότητα περίπου $17.32\%$

Η πρώτη ακολουθία έχει 8 συνεχόμενα

και η δεύτερη

οπότε δεν μπορούμε να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να είναι τυχαίες. Το ίδιο και αν κοιτάξουμε τα συνεχόμενα

.

Αν όμως περιορίσουμε την δεύτερη ακολουθίες στις πρώτες 190

ρίψεις τότε εμφανίζονται μόνο

συνεχόμενα

και η πιθανότητα να συμβεί αυτό (να έχουμε

ή λιγότερα) είναι περίπου $4.05\%$ . Οπότε υπάρχουν κάποιες ενδείξεις ότι ίσως και η δεύτερη ακολουθία να μην είναι τυχαία.

Παρεμπιπτόντως αν στο καζίνο παίζουμε συνέχεια «κόκκινο» και διπλασιάζουμε το στοίχημα κάθε φορά που χάνουμε, τότε πρέπει να είναι εις γνώσιν μας ότι αν παίξουμε 200 φορές θα πρέπει να αναμένουμε να δούμε τουλάχιστον

συνεχόμενα μαύρα με πιθανότητα $17.32\%$ . Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να είμαστε διατεθειμένοι να ποντάρουμε τουλάχιστον 10 φορές. Στο

ποντάρισμα θα έχουμε συνολικά ποντάρει $1+2+2^2 + \cdots + 2^9 = 1023$ φορές το αρχικό μας ποσό.

Λάμπρος Κατσάπας · #6

kkala έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 3:24 pm
Το αντίθετο δεν αποκλείεται (τουλάχιστο κατά τα παραπάνω), έχει όμως μικρότερη πιθανότητα.
[/size]

Όντως έχει μικρότερη πιθανότητα, περίπου 1,4

% μικρότερη. Όμως σκεφτείτε το εξής. Αν παίρναμε τα 95T

της

ης ακολουθίας και τα βάζαμε στην αρχή και τα υπόλοιπα 105H

στο τέλος πάλι στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε με αυτό το σκεπτικό, δηλαδή ότι η δεύτερη ακολουθία είναι πιο κοντά στα νούμερα που περιμέναμε και άρα πιο πιθανό να είναι η πραγματικά τυχαία. Είναι όμως έτσι; Ή θα ψιλιαζόμασταν ότι κάτι δεν πάει καλά;

Τσιαλας Νικολαος · #7

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:18 pm

Παρεμπιπτόντως αν στο καζίνο παίζουμε συνέχεια «κόκκινο» και διπλασιάζουμε το στοίχημα κάθε φορά που χάνουμε, τότε πρέπει να είναι εις γνώσιν μας ότι αν παίξουμε 200 φορές θα πρέπει να αναμένουμε να δούμε τουλάχιστον συνεχόμενα μαύρα με πιθανότητα $17.32\%$ . Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να είμαστε διατεθειμένοι να ποντάρουμε τουλάχιστον 10 φορές. Στο ποντάρισμα θα έχουμε συνολικά ποντάρει $1+2+2^2 + \cdots + 2^9 = 1023$ φορές το αρχικό μας ποσό.

Δεν θα ξεχάσω ποτέ όταν πριν 15 χρόνια στο καζίνο της Πάρνηθας έτυχε 13 φορές συνεχόμενα κόκκινο!! Εκεί κατάλαβαν ότι ούτε ο διπλασιασμός ούτε η λογική " 10 φορές έτυχε κόκκινο το επόμενο θα είναι σίγουρα μαύρο" πιάνει!!!!

Λάμπρος Κατσάπας · #8

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:18 pm
Ας δούμε τρία διαφορετικά τεστ που μπορούμε να κάνουμε:

1) Πλήθος .

Η πρώτη ακολουθία έχει αντί των αναμενόμενων . Η πιθανότητα όμως να έχει ή λιγότερα ισούται με $\displaystyle \sum_{k=0}^{92} \binom{200}{k} \frac{1}{2^{200}} \approx 14.44\%$ Οπότε δεν είναι απίθανο μια τυχαία ακολουθία να έχει ή λιγότερα και δεν υπάρχουν ενδείξεις ότι η ακολουθία δεν είναι τυχαία.

Η δεύτερη ακολουθία έχει και η πιθανότητα να έχει τόσα ή λιγότερα είναι $26.23\%$ οπότε ούτε αυτή απορρίπτεται.

2) Πλήθος εναλλαγών από σε και ανάποδα. Αναμένουμε εναλλαγές. Η πρώτη έχει εναλλαγές και η δεύτερη . Με παρόμοιο τρόπο όπως στο (1) η πιθανότητα να έχουμε το πολύ εναλλαγές είναι περίπου $0.53\%$ οπότε υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις ότι η πρώτη ακολουθία δεν είναι τυχαία. Η πιθανότητα μια ακολουθία να έχει τουλάχιστον εναλλαγές είναι περίπου $28.54\%$ οπότε δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την τυχαιότητα της δεύτερης ακολουθίας.

3) Μέγιστο πλήθος από συνεχόμενα .

Αν γράψουμε $a_{k,n}$ για την πιθανότητα να έχουμε σε ρίψεις τουλάχιστον συνεχόμενα τότε έχουμε την αναδρομική σχέση

$\displaystyle a_{k,n} = \frac{1}{2^k} + \sum_{r=1}^{k} \frac{a_{k,n-r}}{2^r}$

Πράγματι η πιθανότητα το πρώτο να εμφανιστεί στη θέση $r \leqslant k$ ισούται με και σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να έχουμε συνεχόμενα ισούται με $a_{k,n-r}$ . Υπάρχει επίσης πιθανότητα να μην εμφανιστεί στις πρώτες ρίψεις οπότε έχουμε σίγουρα συνεχόμενα .

Χρησιμοποιώντας υπολογιστικό πακέτο βρήκα τα εξής για το μέγιστο πλήθος συνεχόμενων :

Λιγότερα από : Πιθανότητα περίπου $3.41\%$
Ακριβώς : Πιθανότητα περίπου $16.50\%$
Ακριβώς : Πιθανότητα περίπου $25.72\%$
Ακριβώς : Πιθανότητα περίπου $22.40\%$
Ακριβώς : Πιθανότητα περίπου $14.65\%$
Τουλάχιστον : Πιθανότητα περίπου $17.32\%$

Η πρώτη ακολουθία έχει 8 συνεχόμενα και η δεύτερη οπότε δεν μπορούμε να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να είναι τυχαίες. Το ίδιο και αν κοιτάξουμε τα συνεχόμενα .

Αν όμως περιορίσουμε την δεύτερη ακολουθίες στις πρώτες ρίψεις τότε εμφανίζονται μόνο συνεχόμενα και η πιθανότητα να συμβεί αυτό (να έχουμε ή λιγότερα) είναι περίπου $4.05\%$ . Οπότε υπάρχουν κάποιες ενδείξεις ότι ίσως και η δεύτερη ακολουθία να μην είναι τυχαία.

Πολύ καλή η ανάλυση. Ευχαριστώ. Επισυνάπτω το paper. Έχει να κάνει με το μέγεθος των διαδοχών (runs) στην ακολουθία. Η απάντηση είναι ότι η δεύτερη ακολουθία είναι από άνθρωπο. Γενικά έχουμε την τάση να πιστεύουμε ότι πολλά μαζεμένα

είναι σχεδόν αδύνατο να συμβούν και αυτό αποτυπώνεται στην ακολουθία που φτιάχνουμε.

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:18 pm

Παρεμπιπτόντως αν στο καζίνο παίζουμε συνέχεια «κόκκινο» και διπλασιάζουμε το στοίχημα κάθε φορά που χάνουμε, τότε πρέπει να είναι εις γνώσιν μας ότι αν παίξουμε 200 φορές θα πρέπει να αναμένουμε να δούμε τουλάχιστον συνεχόμενα μαύρα με πιθανότητα $17.32\%$ . Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να είμαστε διατεθειμένοι να ποντάρουμε τουλάχιστον 10 φορές. Στο ποντάρισμα θα έχουμε συνολικά ποντάρει $1+2+2^2 + \cdots + 2^9 = 1023$ φορές το αρχικό μας ποσό.

Το ποντάρισμα αυτό (martingale λέγεται), αν δεν κάνω λάθος, δεν επιτρέπεται στα καζίνο. Είναι απλό να δειχθεί ότι η αναμενόμενη χασούρα μέχρι να κερδίσεις είναι $\infty.$ Άρα αν δεν έχεις όσα λεφτά έχει το καζίνο δεν το παίζεις

.

#9

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:09 pm
Είναι απλό να δειχθεί ότι η αναμενόμενη χασούρα μέχρι να κερδίσεις είναι $\infty.$

Σωστά. Το φαινόενο αυτό ονομάζεται "παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης" (St. Petersburg paradox).
Βλέπε εδώ.

Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Μέλη σε σύνδεση