Προ(σ)βολή

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Προ(σ)βολή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 26, 2019 12:01 pm

Προ(σ)βολή.png
Προ(σ)βολή.png (7.21 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
Σε σημείο T της ακτίνας OA=R , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , υψώνω τμήμα TS=a .

Επί του τόξου και πλησιέστερα προς το B , θεωρώ σημείο P , τέτοιο ώστε : PS=ST

Υπολογίστε ( αν μπορείτε ! ) το μήκος της προβολής P'S' , του τμήματος PS επί της OB .

Επειδή ενδέχεται να μην σας πιστέψω , υπολογίστε το στην περίπτωση που : R=5  ,  a=2 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Προ(σ)βολή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 27, 2019 4:41 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2019 12:01 pm
Προ(σ)βολή.pngΣε σημείο T της ακτίνας OA=R , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , υψώνω τμήμα TS=a .

Επί του τόξου και πλησιέστερα προς το B , θεωρώ σημείο P , τέτοιο ώστε : PS=ST

Υπολογίστε ( αν μπορείτε ! ) το μήκος της προβολής P'S' , του τμήματος PS επί της OB .

Επειδή ενδέχεται να μην σας πιστέψω , υπολογίστε το στην περίπτωση που : R=5  ,  a=2 .
Επειδή ενδέχεται να μη με πιστέψεις, πάω κατευθείαν στην εφαρμογή :lol:
Προ(σ)βολή.png
Προ(σ)βολή.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω \displaystyle \cos \omega  = \frac{{23}}{{25}} και στη συνέχεια \displaystyle \sin \omega  = \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}}

\displaystyle \sin (\omega  + \theta ) = \sin \omega \cos \theta  + \sin \theta \cos \omega  \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{5} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}} \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{{23}}{{25}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{4(3\sqrt {14}  - 1)}}{{25}}}

Τώρα που με πίστεψες, δίνω και τον γενικό τύπο \boxed{x = \frac{{a\left( {\sqrt {4{R^2} - {a^2}}  \cdot \sqrt {{R^2} - {a^2}}  - {a^2}} \right)}}{{2{R^2}}}} :yes3: (η μέθοδος φυσικά είναι ίδια).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Προ(σ)βολή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 28, 2019 7:51 am

Γιώργο , πρέπει να σε πιστέψω :yes3:
Προ(σ)βολή.png
Προ(σ)βολή.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Η άσκηση βέβαια λύνεται και με Π.Θ. στο τρίγωνο PQS . Προκύπτει εξίσωση

δευτεροβάθμια ως προς x αλλά με κάπως "τρομακτικούς" συντελεστές , οι

οποίοι αποτρέπουν πολλούς .... Η ( δεκτή ) , πάντως , λύση γράφεται και ως :

x=\dfrac{a}{2R^2}\richt(\sqrt{4R^4-5R^2a^2+a^4}-a^2 \left) :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης