Αδιάφορη καθετότητα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αδιάφορη καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 08, 2019 8:55 pm

Καθετότητα σε ισόπλευρο.png
Καθετότητα σε ισόπλευρο.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
Στο ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρήστε σημείο T της CA και σημείο P της BC ,

τέτοια , ώστε : BP=4CT και AP \perp BT . Υπόδειξη : Μην ασχολείστε :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αδιάφορη καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 08, 2019 10:57 pm

Αδιάφορη καθετότητα.png
Αδιάφορη καθετότητα.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
Από τη συνθήκη καθετότητας και Θ. συνημίτονου στο \vartriangle TPC έχω:

\boxed{x = \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}a}


Πράγματι :

ΑνM το μέσο του AP και θέσω SM = d, από το 2ο Θ. διαμέσων στα τρίγωνα BAP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TAP έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  B{A^2} - B{P^2} = 2dAP \hfill \\ 
  T{A^2} - T{P^2} = 2dAP \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα : B{A^2} - B{P^2} = T{A^2} - T{P^2} ( συνθήκη καθετότητας)

Από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle TPC ισχύει : T{P^2} = T{C^2} + P{C^2} - TC \cdot PC .

Έτσι η προηγούμενη συνθήκη δίδει μετά από απλές πράξεις: 4{x^2} - 7ax + {a^2} = 0.

Η μικρότερη ρίζα δίδει :\boxed{x = \frac{{7 - \sqrt {33} }}{8}a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες