Βρείτε τα α&β

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Βρείτε τα α&β

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Οκτ 07, 2019 8:12 pm

Βρείτε τα a και b (ακέραιοι) ώστε να ισχύει η ισότητα παρακάτω.
ΥΓ...Το k του αθροίσματος είναι ακέραιος

\displaystyle  2\left( \sum_{k=aaaa}^{bbbb} k\right) = aaaabbbb
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τρί Οκτ 08, 2019 8:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αφαίρεση εικόνας και εισαγωγή σε Latex



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1877
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Βρείτε τα α&β

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Οκτ 09, 2019 12:52 pm

Τα a, b είναι ψηφία;;


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Βρείτε τα α&β

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τετ Οκτ 09, 2019 8:35 pm

Μια υπόδειξη σε αυτό :

\displaystyle 2\cdot (\sum_{k=3333}^{6666}k )=33336666


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τα α&β

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Πέμ Οκτ 10, 2019 1:46 pm

mick7 έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 8:35 pm
Μια υπόδειξη σε αυτό :

\displaystyle 2\cdot (\sum_{k=3333}^{6666}k )=33336666
Από όταν το είδα θέλω να το γράψω και όλο το ξεχνάω. Ισχύει και, τετριμμένα για a=b=0.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
kkala
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Βρείτε τα α&β

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:11 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 8:12 pm
Βρείτε τα a και b (ακέραιοι) ώστε να ισχύει η ισότητα παρακάτω.
ΥΓ...Το k του αθροίσματος είναι ακέραιος

\displaystyle  2\left( \sum_{k=aaaa}^{bbbb} k\right) = aaaabbbb
Οι όροι του αθροίσματος αποτελούν αριθμητική πρόοδο με λόγο 1. Πρώτος όρος της προόδου είναι ο τετραψήφιος αριθμός αααα = a\cdot 10^{4}+a\cdot 10^{3}+a\cdot 10^{2}+a\cdot 10+a =1111\cdot a. Τελευταίος όρος της (ομοίως) ο αριθμός bbbb = 1111\cdot b .
Tο πλήθος των όρων της είναι 1+1111\cdot b - 1111\cdot a .
Το διπλάσιο άθροισμα των όρων της είναι (1111b+1111a)(1+1111b-1111a)=1111(b+a)(1+1111(b-a)) .
Τούτο πρέπει να ισούται με τον αριθμό ααααbbbb = 10^{4}\cdot 1111a + 1111b = 1111(10000a+b) .
Η προκύπτουσα εξίσωση απλοποιείται στην (b+a)(1+1111(b-a))= 10000a+b , ή μετά τις πράξεις στην (b+a)(b-a)=9a, ή b = \sqrt{a(a+9)} , όπου α, b μη αρνητικοί ακέραιοι μικρότεροι του 10. Για α=0 έως 9 διαπιστώνουμε ότι οι μόνες αποδεκτές (ακέραιες) τιμές είναι α=0, b=0 (τετριμμένη περίπτωση, #4 ), καθώς και α=3, b=6 (βλέπε #3).
Εκτός αυτών δεν υπάρχουν (κατά τα παραπάνω) άλλοι αριθμοί αααα, bbbb, ααααbbbb που να ικανοποιούν το ζητούμενο.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Βρείτε τα α&β

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τετ Νοέμ 13, 2019 12:47 pm

:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mihalis_Lambrou και 3 επισκέπτες